解説

方針・初手

与えられた直線を $1+t^2$ で割ると、法線ベクトルの長さが $1$ になる。すると、これは単位円の接線の形そのものである。

（2） では、点 $(x,y)$ がこの直線群のどれか1本に乗る条件を、$t$ についての2次方程式が $t\ge 1$ の解をもつ条件に直して調べる。

解法1

まず直線

$$ (1-t^2)x-2ty=1+t^2 $$

を $1+t^2$ で割ると

$$ \frac{1-t^2}{1+t^2}x-\frac{2t}{1+t^2}y=1 $$

となる。

ここで

$$ a=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad b=-\frac{2t}{1+t^2} $$

とおくと、

$$ a^2+b^2 =\frac{(1-t^2)^2+4t^2}{(1+t^2)^2} =\frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} =1 $$

である。したがって直線は

$$ ax+by=1\qquad (a^2+b^2=1) $$

の形であり、これは単位円

$$ x^2+y^2=1 $$

の接線である。

よって、円 $C$ の方程式は

$$ x^2+y^2=1 $$

である。

また、単位円 $x^2+y^2=1$ における点 $(a,b)$ での接線は

$$ ax+by=1 $$

だから、接点は

$$ \left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\ -\frac{2t}{1+t^2}\right) $$

である。

次に （2） を考える。

点 $(x,y)$ がこの直線群のどれか1本に乗るための条件は、ある $t\ge 1$ が存在して

$$ (1-t^2)x-2ty=1+t^2 $$

を満たすことである。これを $t$ について整理すると

$$ (x+1)t^2+2yt+(1-x)=0 $$

となる。

これが $t\ge 1$ の解をもつ条件を場合分けして調べる。

**(i)**

$x<-1$ のとき

このとき $x+1<0$ であるから、上の2次式は下に凸であり、$t\to\infty$ で $-\infty$ に行く。また

$$ f(1)=2(y+1) $$

である。

したがって、$t\ge 1$ に解をもつための条件は

$$ f(1)\ge 0 $$

すなわち

$$ y\ge -1 $$

である。

**(ii)**

$x=-1$ のとき

方程式は

$$ -2ty=2 $$

となるから、

$$ t=-\frac1y $$

である。これが $t\ge 1$ を満たすのは

$$ -1\le y<0 $$

のときである。

**(iii)**

$-1<x<0$ のとき

この範囲では、動く直線群の包絡線は円 $x^2+y^2=1$ の左下の弧である。しかも各直線はその弧の接線であるから、この範囲で直線の通過する部分はその弧の下側になる。

したがって条件は

$$ y\le -\sqrt{1-x^2} $$

である。

**(iv)**

$x\ge 0$ のとき

$t=1$ のとき直線は

$$ y=-1 $$

であり、$t>1$ では傾きは負となるので、右側ではこの直線より下側がちょうど通過範囲になる。よって

$$ y\le -1 $$

である。

以上より、直線の通過する範囲は

$$ {(x,y)\mid x<-1,\ y\ge -1} $$

と

$$ {(x,y)\mid x=-1,\ -1\le y<0} $$

と

$$ {(x,y)\mid -1<x<0,\ y\le -\sqrt{1-x^2}} $$

と

$$ {(x,y)\mid x\ge 0,\ y\le -1} $$

の和集合である。

解説

この問題の核心は、直線を $1+t^2$ で割ることである。すると係数

$$ \left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\ -\frac{2t}{1+t^2}\right) $$

が単位ベクトルになるので、直線が単位円の接線であることが一気に分かる。

（2） では、接点が $t\ge 1$ のとき

$$ \left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\ -\frac{2t}{1+t^2}\right) $$

であり、これは単位円の左下の弧 $(0,-1)$ から $(-1,0)$ に向かう部分を動く。したがって通過範囲の境界は、直線 $y=-1$、円弧 $x^2+y^2=1$ の左下部分、そして $x=-1$ 上の対応部分になる。

ただし $(-1,0)$ は $t\to\infty$ の極限で現れる点であり、有限の $t\ge 1$ では現れないので含まれない。

答え

**(1)**

円 $C$ は

$$ x^2+y^2=1 $$

である。

接点は

$$ \left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\ -\frac{2t}{1+t^2}\right) $$

である。

**(2)**

直線の通過する範囲は

$$ {(x,y)\mid x<-1,\ y\ge -1} \cup {(x,y)\mid x=-1,\ -1\le y<0} \cup {(x,y)\mid -1<x<0,\ y\le -\sqrt{1-x^2}} \cup {(x,y)\mid x\ge 0,\ y\le -1} $$

である。

すなわち、図では

$x<-1$ では直線 $y=-1$ の上側、

$-1<x<0$ では円 $x^2+y^2=1$ の左下の弧の下側、

$x\ge 0$ では直線 $y=-1$ の下側、

をとり、さらに $x=-1$ 上では $-1\le y<0$ の部分を含む。なお、点 $(-1,0)$ は含まれない。