解説

方針・初手

円の中心は原点、半径は $2$ である。

したがって、直線と円の交点間の距離は、原点から直線までの距離を用いて弦の長さとして求められる。また、連立不等式の表す領域の面積は、直線が円を切り取る円弧部分の面積として考えるとよい。

解法1

直線

$$ x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0 $$

と原点との距離 $d$ は

$$ d=\frac{| -2\sqrt{3} |}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}} =\frac{2\sqrt{3}}{2} =\sqrt{3} $$

である。

円 $x^2+y^2=4$ の半径は $2$ であるから、交点を結ぶ弦の長さは

$$ 2\sqrt{2^2-d^2} =2\sqrt{4-3} =2 $$

となる。よって、[(エ)] は

$$ 2 $$

である。

次に、連立不等式

$$ \begin{cases} x^2+y^2\leqq 4\\ x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}\leqq 0 \end{cases} $$

の表す領域の面積を求める。

まず、原点 $(0,0)$ を代入すると

$$ 0+\sqrt{3}\cdot 0-2\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\leqq 0 $$

となるので、求めるのは円のうち原点を含む側、すなわち大きい方の部分である。

ここで、円の中心を $O$、交点を $A,B$ とする。弦 $AB$ に対して、中心から弦までの距離は $\sqrt{3}$、半径は $2$ であるから、$\angle AOB$ を $\theta$ とすると

$$ \cos \frac{\theta}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

より

$$ \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{6},\qquad \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。

したがって、小さい方の弓形の面積は

「扇形 $AOB$ の面積」$-$「三角形 $AOB$ の面積」

であり、

$$ \frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot \frac{\pi}{3}

= \frac{2\pi}{3}-\sqrt{3} $$

• \frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot \sin \frac{\pi}{3}

となる。

円全体の面積は

$$ \pi\cdot 2^2=4\pi $$

であるから、求める大きい方の部分の面積は

$$ 4\pi-\left(\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\right) =\frac{10\pi}{3}+\sqrt{3} $$

である。よって、[(オ)] は

$$ \frac{10\pi}{3}+\sqrt{3} $$

である。

解説

この問題では、円と直線の位置関係を図形的に処理するのが最も自然である。

交点間の距離は弦の長さとして求められ、原点から直線までの距離が分かればすぐに計算できる。また、面積も積分を使わず、扇形と三角形の差で小さい弓形を出し、それを円全体から引くと簡潔である。

特に、どちら側の領域を取るのかを、原点を代入して判定することが重要である。

答え

**(エ)**

$2$

**(オ)**

$\dfrac{10\pi}{3}+\sqrt{3}$