解説

方針・初手

直線 $AB$ の方程式を $t$ を用いて表し、固定した $x$ に対してそのときの $y$ がどの範囲を動くかを調べる。

1本1本の直線の式を並べるだけでは範囲は見えにくいので、$y$ を $t$ の関数として見て最大値・最小値を求めるのが自然である。

解法1

点

$$ A\left(\frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)},-2\right),\qquad B\left(\frac{2t}{3},-2t\right) $$

を結ぶ直線を考える。

まず傾きを求める。

$$ \begin{aligned} x_A-x_B &= \frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}-\frac{2t}{3} \\ \frac{2}{3}\left(\frac{t^2+t+1-t(t+1)}{t+1}\right) \\ \frac{2}{3(t+1)} \end{aligned} $$

また

$$ y_A-y_B=-2-(-2t)=-2(1-t) $$

であるから、直線 $AB$ の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} &= \frac{-2(1-t)}{2/(3(t+1))} \\ -3(1-t)(t+1) \\ -3(1-t^2) \end{aligned} $$

となる。

したがって、直線 $AB$ の方程式は点 $B$ を用いて

$$ y+2t=-3(1-t^2)\left(x-\frac{2t}{3}\right) $$

すなわち

$$ \begin{aligned} y=-3(1-t^2)x-2t^3 &= -3x+3xt^2-2t^3 \end{aligned} $$

である。

ここで $x$ を固定し、

$$ f_x(t)=-3x+3xt^2-2t^3 $$

とおくと、直線 $AB$ がその $x$ 座標のところで通る $y$ 座標は $f_x(t)$ の値全体である。

そこで $t$ に関して増減を調べる。

$$ f_x'(t)=6xt-6t^2=6t(x-t) $$

である。

（i） $x<0$ のとき

$t>0$ では $x-t<0$ であるから、$f_x'(t)<0$ となる。よって $f_x(t)$ は単調減少である。

したがって

$$ f_x(1)\le y\le f_x(0) $$

すなわち

$$ -2\le y\le -3x $$

である。

（ii） $0\le x\le 1$ のとき

このとき $f_x'(t)$ は

• $0<t<x$ で正
• $x<t\le 1$ で負

となるから、$t=x$ で最大値をとる。

その最大値は

$$ f_x(x)=-3x+3x\cdot x^2-2x^3=x^3-3x $$

である。

最小値は端点 $t=0,1$ のいずれかであり、

$$ f_x(0)=-3x,\qquad f_x(1)=-2 $$

を比較すればよい。

**(a)**

$0\le x\le \dfrac23$ では $-3x\ge -2$ なので最小値は $-2$ である。よって

$$ -2\le y\le x^3-3x $$

となる。

**(b)**

$\dfrac23\le x\le 1$ では $-3x\le -2$ なので最小値は $-3x$ である。よって

$$ -3x\le y\le x^3-3x $$

となる。

（iii） $x>1$ のとき

$0\le t\le 1$ では常に $x-t>0$ だから、$f_x'(t)>0$ となる。よって $f_x(t)$ は単調増加である。

したがって

$$ f_x(0)\le y\le f_x(1) $$

すなわち

$$ -3x\le y\le -2 $$

である。

以上をまとめると、直線 $AB$ の通りうる範囲は

$$ \begin{cases} -2\le y\le -3x & (x\le 0),\\[2mm] -2\le y\le x^3-3x & \left(0\le x\le \dfrac23\right),\\[2mm] -3x\le y\le x^3-3x & \left(\dfrac23\le x\le 1\right),\\[2mm] -3x\le y\le -2 & (x\ge 1) \end{cases} $$

である。

境界を図形的に言えば、

• 上側境界は

• $x\le 0$ では直線 $y=-3x$
• $0\le x\le 1$ では曲線 $y=x^3-3x$
• $x\ge 1$ では直線 $y=-2$
• 下側境界は

• $x\le \dfrac23$ では直線 $y=-2$
• $x\ge \dfrac23$ では直線 $y=-3x$

である。

解説

この問題の要点は、直線群をそのまま追うのではなく、

$$ y=-3x+3xt^2-2t^3 $$

と表して、固定した $x$ に対する $y$ の動きを調べることである。

また、上側の曲線

$$ y=x^3-3x \qquad (0\le x\le 1) $$

は、$f_x(t)$ が $t=x$ で最大となることから現れる。端の $t=0,1$ はそれぞれ直線 $y=-3x,\ y=-2$ を与えるので、最終的な境界は2本の直線と1本の三次曲線から成る。

答え

直線 $AB$ の通りうる範囲は

$$ \begin{cases} -2\le y\le -3x & (x\le 0),\\[2mm] -2\le y\le x^3-3x & \left(0\le x\le \dfrac23\right),\\[2mm] -3x\le y\le x^3-3x & \left(\dfrac23\le x\le 1\right),\\[2mm] -3x\le y\le -2 & (x\ge 1) \end{cases} $$

である。

したがって、境界は

直線 $y=-3x$

直線 $y=-2$

曲線 $y=x^3-3x\ (0\le x\le 1)$

からなり、これらで囲まれる部分を図示すればよい。