解説

方針・初手

中心が $(t,t^2)$ で、直線 $y=-1$ に接するので、まず半径は中心から直線までの距離で求まる。

その円の方程式を得たら、（2）、（3） は与えられた点を代入して $t$ を求めればよい。

（4） では、点 $(x,y)$ がある円 $C_t$ 上にある条件を $t$ の方程式に直し、実数解をもつ条件を調べる。

解法1

**(1)**

円 $C_t$ の中心は $(t,t^2)$ である。 また、半径は点 $(t,t^2)$ と直線 $y=-1$ との距離だから

$$ r=\left|t^2-(-1)\right|=t^2+1 $$

である。

したがって、$C_t$ の方程式は

$$ (x-t)^2+(y-t^2)^2=(t^2+1)^2 $$

である。

---

**(2)**

点 $\left(a,-\dfrac12\right)$ が $C_t$ 上にあるので、

$$ (a-t)^2+\left(-\frac12-t^2\right)^2=(t^2+1)^2 $$

である。ここで

$$ \left(-\frac12-t^2\right)^2=\left(t^2+\frac12\right)^2 $$

だから、

$$ (a-t)^2+\left(t^2+\frac12\right)^2=(t^2+1)^2 $$

となる。よって

$$ (a-t)^2=(t^2+1)^2-\left(t^2+\frac12\right)^2 $$

右辺は平方差で処理できるので、

$$ \begin{aligned} (a-t)^2 &=\left\{\left(t^2+1\right)-\left(t^2+\frac12\right)\right\} \left\{\left(t^2+1\right)+\left(t^2+\frac12\right)\right\} \\ &=\frac12\left(2t^2+\frac32\right) \\ &=t^2+\frac34 \end{aligned} $$

したがって

$$ a^2-2at+t^2=t^2+\frac34 $$

より

$$ 2at=a^2-\frac34 $$

となる。$a\neq 0$ だから、

$$ t=\frac{a^2-\frac34}{2a}=\frac{4a^2-3}{8a} $$

である。

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**(3)**

点 $(5,8)$ が $C_t$ 上にあるので、

$$ (5-t)^2+(8-t^2)^2=(t^2+1)^2 $$

である。よって

$$ (5-t)^2=(t^2+1)^2-(8-t^2)^2 $$

右辺を平方差で整理すると、

$$ \begin{aligned} (t^2+1)^2-(8-t^2)^2 &={(t^2+1)-(8-t^2)}{(t^2+1)+(8-t^2)} \\ &=(2t^2-7)\cdot 9 \end{aligned} $$

したがって

$$ (5-t)^2=9(2t^2-7) $$

すなわち

$$ 25-10t+t^2=18t^2-63 $$

より

$$ 17t^2+10t-88=0 $$

となる。これを解くと、

$$ \begin{aligned} t &=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot 17\cdot(-88)}}{2\cdot 17} \\ &=\frac{-10\pm\sqrt{6084}}{34} \\ &=\frac{-10\pm 78}{34} \end{aligned} $$

したがって

$$ t=2,\ -\frac{44}{17} $$

である。

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**(4)**

点 $(x,y)$ がある円 $C_t$ 上にあるとする。このとき

$$ (x-t)^2+(y-t^2)^2=(t^2+1)^2 $$

を満たす実数 $t$ が存在する。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} x^2-2xt+t^2+y^2-2yt^2+t^4&=t^4+2t^2+1 \\ (2y+1)t^2+2xt-(x^2+y^2-1)&=0 \end{aligned} $$

となる。

まず、どの円も直線 $y=-1$ に接しており、中心の $y$ 座標は $t^2\geq 0$ であるから、各円の最下点は常に $y=-1$ である。したがって、$C_t$ が通る点は必ず

$$ y\geq -1 $$

を満たす。

次に、$y\neq -\dfrac12$ のとき、上の式は $t$ についての2次方程式であるから、実数解をもつ条件は判別式 $\geq 0$ である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{\Delta}{4} &=x^2+(2y+1)(x^2+y^2-1) \\ &=(y+1)(2x^2+2y^2-y-1) \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ 2x^2+2y^2-y-1 =2\left\{x^2+\left(y-\frac14\right)^2-\frac{9}{16}\right\} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \frac{\Delta}{4} &= 2(y+1)\left\{x^2+\left(y-\frac14\right)^2-\frac{9}{16}\right\} \end{aligned} $$

である。

すでに $y\geq -1$ と分かっているので、$y+1\geq 0$ である。したがって、$y\neq -\dfrac12$ では

$$ x^2+\left(y-\frac14\right)^2\geq \frac{9}{16} $$

が必要十分条件となる。

ただし、$y=-\dfrac12$ のときは上の式は2次方程式ではなく

$$ 2xt-\left(x^2-\frac34\right)=0 $$

となる。このとき $x\neq 0$ なら実数 $t$ が存在するが、$x=0$ では

$$ -\left(0-\frac34\right)=\frac34\neq 0 $$

となって不可能である。したがって、点 $\left(0,-\dfrac12\right)$ はどの円 $C_t$ 上にもない。

以上より、求める領域は

$$ \left\{(x,y)\ \middle|\ y\geq -1,\ x^2+\left(y-\frac14\right)^2\geq \frac{9}{16}\right\} \setminus \left\{\left(0,-\frac12\right)\right\} $$

である。

すなわち、**直線 $y=-1$ の上側で、円**

$$ x^2+\left(y-\frac14\right)^2=\frac{9}{16} $$

**の内部を除いた部分**であり、**ただし点 $\left(0,-\dfrac12\right)$ は含まれない**。

解説

この問題の要点は、円の半径が「中心から接線までの距離」でただちに求まることである。

（2）、（3） は単なる代入計算に見えるが、平方差を使うと整理が非常に楽になる。

（4） は、点 $(x,y)$ を固定して「その点を通る円 $C_t$ が存在するか」を考えるのが本筋である。$t$ についての方程式に直し、実数解条件を判別式で処理すると、境界として

$$ x^2+\left(y-\frac14\right)^2=\frac{9}{16} $$

が現れる。 ただし $y=-\dfrac12$ では方程式が退化するため、点 $\left(0,-\dfrac12\right)$ の扱いを別に確認する必要がある。この1点を見落としやすい。

答え

**(1)**

$$ (x-t)^2+(y-t^2)^2=(t^2+1)^2 $$

**(2)**

$$ t=\frac{4a^2-3}{8a} $$

**(3)**

$$ t=2,\ -\frac{44}{17} $$

**(4)**

$$ \left\{(x,y)\ \middle|\ y\geq -1,\ x^2+\left(y-\frac14\right)^2\geq \frac{9}{16}\right\} \setminus \left\{\left(0,-\frac12\right)\right\} $$

すなわち、直線 $y=-1$ の上側で、円

$$ x^2+\left(y-\frac14\right)^2=\frac{9}{16} $$

の内部を除いた部分。ただし点 $\left(0,-\dfrac12\right)$ は含まれない。