解説

方針・初手

$(1)$ は $|x|,\ |y|$ を新しい座標とみると、第1象限にある半径 $1$ の円になる。これを $x$ 軸、$y$ 軸について対称移動すれば全体の領域が分かる。

$(2)$ では $x=a_1-a_2,\ y=a_3-a_4$ である。$x,\ y$ はそれぞれ2回のさいころの差であり、しかも互いに独立である。まず差の分布を求め、そのうえで $(1)$ の領域に入る整数点だけを数える。

解法1

（1） 領域の図示

$X=|x|,\ Y=|y|$ とおくと、与えられた不等式は

$$ (X-2)^2+(Y-2)^2\le 1 $$

となる。

ここで $X\ge 0,\ Y\ge 0$ であるから、これは第1象限にある中心 $(2,2)$、半径 $1$ の円の内部および円周を表す。

しかもこの円は $1\le X\le 3,\ 1\le Y\le 3$ の範囲にあり、座標軸にはかからない。したがって、これを $x$ 軸、$y$ 軸について対称移動したものが、もとの領域である。

よって求める領域は、中心が

$$ (2,2),\ (-2,2),\ (2,-2),\ (-2,-2) $$

である半径 $1$ の4個の円の内部および円周、すなわち4個の閉円盤の和である。

（2） 確率の計算

まず、2個のさいころの差 $a_i-a_j$ の分布を求める。

差が $k$ となる組の数は、$k=0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5$ に対して

$$ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1 $$

の並びになる。したがって

$$ P(x=k)=P(y=k)=\frac{6-|k|}{36}\qquad (k=0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5) $$

である。

また、$x=a_1-a_2$ と $y=a_3-a_4$ は別々の試行からできているので、$x$ と $y$ は独立である。

次に、$(x,y)$ は整数点しか取りえないので、$(1)$ の領域に含まれる整数点を調べる。

条件

$$ (|x|-2)^2+(|y|-2)^2\le 1 $$

において、$|x|,\ |y|$ は整数だから、$(|x|,|y|)$ としてありうるのは

$$ (2,2),\ (1,2),\ (3,2),\ (2,1),\ (2,3) $$

のみである。

したがって求める確率は

$$ P(|x|=2,\ |y|=2)+P(|x|=1,\ |y|=2)+P(|x|=3,\ |y|=2)+P(|x|=2,\ |y|=1)+P(|x|=2,\ |y|=3) $$

である。

ここで

$$ P(|x|=2)=\frac{4+4}{36}=\frac{2}{9},\qquad P(|x|=1)=\frac{5+5}{36}=\frac{5}{18},\qquad P(|x|=3)=\frac{3+3}{36}=\frac{1}{6} $$

であり、$y$ についても同じであるから、独立性より

$$ \begin{aligned} P &=\left(\frac{2}{9}\right)^2 +\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9} +\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{9} +\frac{2}{9}\cdot\frac{5}{18} +\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{6} [4pt] &=\frac{4}{81}+\frac{5}{81}+\frac{3}{81}+\frac{5}{81}+\frac{3}{81} [4pt] &=\frac{20}{81}. \end{aligned} $$

解説

$(1)$ の本質は、$|x|,\ |y|$ が入っているために、まず第1象限で図形を見てから対称性で全体を復元する点にある。いきなり全体を考えるより、$|x|,\ |y|$ を新しい変数とみるほうが明快である。

$(2)$ の本質は、連続的な面積ではなく、$(x,y)$ が整数点しか取らないことにある。したがって、図形の中に入る「格子点」を拾えばよい。差の分布は三角形型になり、独立性を使えば確率は積で処理できる。

答え

**(1)**

求める領域は、中心 $(2,2),\ (-2,2),\ (2,-2),\ (-2,-2)$、半径 $1$ の4個の円の内部および円周である。

**(2)**

求める確率は

$$ \frac{20}{81} $$

である。