解説

方針・初手

与えられた放物線群

$$ y=\frac34(x-t)^2-t^2-1 $$

を、$t$ を動かす式として整理する。

すると、$x$ を固定したときに取りうる $y$ の範囲が分かるので、まず(1)の領域を式で確定できる。 (2)ではその境界 $D$ を求め、$x$ 軸との交点 $(a,0)$ を出し、さらに $C:y=-x^2-1$ の $x=a$ における接線を求めて、放物線 $D$ とその直線で囲まれる面積を積分で求める。

解法1

まず

$$ y=\frac34(x-t)^2-t^2-1 $$

を展開すると

$$ \begin{aligned} y &=\frac34(x^2-2xt+t^2)-t^2-1\\ &=\frac34x^2-\frac32xt-\frac14t^2-1 \end{aligned} $$

となる。ここで $t$ について平方完成すると

$$ y =-\frac14(t+3x)^2+3x^2-1 $$

を得る。

したがって、$x$ を固定したとき $(t+3x)^2\geqq0$ より

$$ y\leqq 3x^2-1 $$

であり、逆に $y\leqq 3x^2-1$ なら

$$ (t+3x)^2=4(3x^2-1-y)\geqq0 $$

となるような実数 $t$ を取れるので、その点は実際にこの放物線群のいずれかの上にある。

ゆえに、(1)で放物線が通過する領域は

$$ y\leqq 3x^2-1 $$

すなわち放物線

$$ D:\ y=3x^2-1 $$

の下側全体である。

次に(2)を考える。 $D$ が $x$ 軸の正の部分と交わる点を $(a,0)$ とすると、

$$ 3a^2-1=0 $$

より

$$ a=\frac1{\sqrt3} $$

である。

したがって、$C:y=-x^2-1$ の $x=a$ における接点は

$$ \begin{aligned} \left(\frac1{\sqrt3},-\frac13-1\right) &= \left(\frac1{\sqrt3},-\frac43\right) \end{aligned} $$

である。

$C$ の微分係数は

$$ y'=-2x $$

だから、$x=a=\dfrac1{\sqrt3}$ における接線 $\ell$ の傾きは

$$ -\frac2{\sqrt3} $$

である。よって接線 $\ell$ の方程式は

$$ y+\frac43=-\frac2{\sqrt3}\left(x-\frac1{\sqrt3}\right) $$

すなわち

$$ \ell:\ y=-\frac2{\sqrt3}x-\frac23 $$

となる。

次に、$D$ と $\ell$ の交点を求める。

$$ 3x^2-1=-\frac2{\sqrt3}x-\frac23 $$

より

$$ 3x^2+\frac2{\sqrt3}x-\frac13=0 $$

これを解くと

$$ x=-\frac1{\sqrt3},\ \frac1{3\sqrt3} $$

である。

この区間では $\ell$ が $D$ より上にあるので、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-1/\sqrt3}^{,1/(3\sqrt3)} \left\{ \left(-\frac2{\sqrt3}x-\frac23\right)-(3x^2-1) \right\},dx $$

となる。整理すると

$$ S=\int_{-1/\sqrt3}^{,1/(3\sqrt3)} \left( -3x^2-\frac2{\sqrt3}x+\frac13 \right),dx $$

である。

これを積分して

$$ \begin{aligned} S &=\left[ -x^3-\frac1{\sqrt3}x^2+\frac13x \right]_{-1/\sqrt3}^{,1/(3\sqrt3)}\\ &=\frac{32\sqrt3}{243} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、放物線群を「$t$ を含む式」として見て、$t$ について平方完成することである。

$$ y=-\frac14(t+3x)^2+3x^2-1 $$

の形にすれば、各 $x$ に対して $y$ の最大値が $3x^2-1$ であることがすぐ分かる。 したがって、通過領域は単なる包絡線ではなく、その下側全体になる。

また、(2)では $D$ と $C$ は別の曲線であるから、接線は $D$ ではなく $C$ に対して立てる点に注意が必要である。

答え

**(1)**

放物線群

$$ y=\frac34(x-t)^2-t^2-1 $$

が通過する領域は

$$ y\leqq 3x^2-1 $$

である。

したがって、その境界は

$$ D:\ y=3x^2-1 $$

である。

**(2)**

$$ a=\frac1{\sqrt3} $$

であり、$x=a$ における $C$ の接線 $\ell$ は

$$ \ell:\ y=-\frac2{\sqrt3}x-\frac23 $$

である。

$D$ と $\ell$ で囲まれる部分の面積は

$$ \frac{32\sqrt3}{243} $$

である。