解説

方針・初手

絶対値を含むので、まず第1象限で式を外して図形の形をつかむ。

第1象限では

$$ a^2x+y=a $$

となるので、これを各象限に対称移動すれば図形 $R$ の全体が分かる。 そのうえで、（1） は面積、（2） は原点から辺までの距離、（3） はその円の面積の最大化を考えればよい。

解法1

（1） 図形 $R$ と領域の面積

第1象限では $|x|=x,\ |y|=y$ であるから、

$$ a^2x+y=a $$

すなわち

$$ y=a-a^2x $$

である。これは $x$ 軸と $(1/a,0)$、$y$ 軸と $(0,a)$ で交わる直線である。

したがって、図形 $R$ は

$$ \left(\frac{1}{a},0\right),\ \left(0,a\right),\ \left(-\frac{1}{a},0\right),\ \left(0,-a\right) $$

を頂点とするひし形である。

また、不等式

$$ a^2|x|+|y|\leqq a $$

の表す領域は、このひし形の内部を含む部分である。

第1象限での領域は、頂点 $(0,0),\ (1/a,0),\ (0,a)$ をもつ直角三角形であり、その面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a}\cdot a=\frac{1}{2} $$

である。対称性より全体の面積は

$$ 4\cdot \frac{1}{2}=2 $$

となる。

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（2） 原点中心で図形 $R$ に接する円 $C$

図形 $R$ の各辺は対称であるから、第1象限の辺

$$ a^2x+y=a $$

に原点から下ろした垂線の長さを半径とすればよい。

直線

$$ a^2x+y-a=0 $$

と原点 $(0,0)$ との距離は

$$ \frac{| -a |}{\sqrt{(a^2)^2+1^2}} =\frac{a}{\sqrt{a^4+1}} $$

である。

よって、求める円 $C$ の半径を $r$ とすると

$$ r=\frac{a}{\sqrt{a^4+1}} $$

であるから、方程式は

$$ x^2+y^2=\frac{a^2}{a^4+1} $$

となる。

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（3） 円 $C$ の面積 $S$ とその最大値

半径が

$$ r=\frac{a}{\sqrt{a^4+1}} $$

であるから、円 $C$ の面積 $S$ は

$$ S=\pi r^2 =\pi \cdot \frac{a^2}{a^4+1} $$

である。

ここで $t=a^2\ (t>0)$ とおくと、

$$ S=\pi \frac{t}{t^2+1} $$

となる。

したがって、$f(t)=\dfrac{t}{t^2+1}$ を考えればよい。微分すると

$$ f'(t)=\frac{(t^2+1)-2t^2}{(t^2+1)^2} =\frac{1-t^2}{(t^2+1)^2} $$

であるから、

• $0<t<1$ で $f'(t)>0$
• $t>1$ で $f'(t)<0$

となる。よって $t=1$ のとき最大である。

すなわち

$$ a^2=1 \quad \Longrightarrow \quad a=1 $$

のとき $S$ は最大となり、その最大値は

$$ S_{\max}=\pi \frac{1}{1+1}=\frac{\pi}{2} $$

である。

解説

この問題の本質は、絶対値つきの式を「各象限で一次式に直す」ことである。すると図形 $R$ は、軸上の4点を頂点とするひし形であることがすぐ分かる。

（2） では、接する円の半径は「原点から辺までの距離」で求まる。ひし形の頂点までの距離ではない点に注意が必要である。頂点では折れ曲がっており、通常の意味で接線が定まらないからである。

（3） は面積の式を作ったあと、$a^2=t$ とおくと計算が整理しやすい。

答え

**(1)**

$R$ は

$$ \left(\frac{1}{a},0\right),\ \left(0,a\right),\ \left(-\frac{1}{a},0\right),\ \left(0,-a\right) $$

を頂点とするひし形である。

また、

$$ a^2|x|+|y|\leqq a $$

の表す領域の面積は

$$ 2 $$

である。

**(2)**

円 $C$ の方程式は

$$ x^2+y^2=\frac{a^2}{a^4+1} $$

である。

**(3)**

円 $C$ の面積 $S$ は

$$ S=\pi \frac{a^2}{a^4+1} $$

であり、その最大値は

$$ \frac{\pi}{2} $$

である。これは $a=1$ のときに達する。