解説

方針・初手

交点の $x$ 座標 $x_1,x_2$ は，放物線 $A,B$ の連立から得られる二次方程式の解である。したがって，$x_1+x_2,\ x_1x_2,\ x_1-x_2$ を $a,b$ で表せる。

そのうえで，

• （1） は $x_1-x_2=2$ をそのまま使う。
• （2） はその条件下で直線 $PQ$ の方程式を求め，媒介変数 $a$ を消去する。
• （3） は $|PQ|=2$ を $a,b$ に直し，中点の $y$ 座標を 1 変数関数にして最小値を求める。

解法1

放物線 $A:y=x^2$ と $B:y=-(x-a)^2+b$ の交点の $x$ 座標は

$$ x^2=-(x-a)^2+b $$

より

$$ x^2=-x^2+2ax-a^2+b $$

すなわち

$$ 2x^2-2ax+a^2-b=0 $$

の 2 解である。よって，解と係数の関係から

$$ x_1+x_2=a,\qquad x_1x_2=\frac{a^2-b}{2} $$

である。

したがって

$$ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 =a^2-2(a^2-b)=2b-a^2 $$

を得る。

（1） $x_1-x_2=2$ のとき

上式に代入すると

$$ 4=2b-a^2 $$

より

$$ b=\frac{a^2+4}{2}=\frac{a^2}{2}+2 $$

である。

（2） $x_1-x_2=2$ を満たしながら $a,b$ が変化するとき

（1） より

$$ b=\frac{a^2}{2}+2 $$

であるから，交点の $x$ 座標は

$$ x^2-ax+\frac{a^2-b}{2}=0 $$

すなわち

$$ x^2-ax+\left(\frac{a^2}{4}-1\right)=0 $$

の 2 解である。判別式は $4$ なので，

$$ x_1=\frac{a+2}{2}=\frac{a}{2}+1,\qquad x_2=\frac{a-2}{2}=\frac{a}{2}-1 $$

となる。

したがって

$$ y_1=x_1^2,\qquad y_2=x_2^2 $$

であり，直線 $PQ$ の傾きは

$$ \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} =\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2} =x_1+x_2 =a $$

である。

また，直線 $PQ$ は放物線 $y=x^2$ 上の 2 点 $(x_1,x_1^2),\ (x_2,x_2^2)$ を結ぶ弦であるから，その方程式は

$$ y=(x_1+x_2)x-x_1x_2 $$

であり，

$$ y=ax-\left(\frac{a^2}{4}-1\right) =ax-\frac{a^2}{4}+1 $$

となる。

ここで，点 $(x,y)$ がこの直線群のどれか 1 本上にあるための条件は，ある実数 $a$ が存在して

$$ y=ax-\frac{a^2}{4}+1 $$

を満たすことである。これを $a$ について整理すると

$$ a^2-4xa+4(y-1)=0 $$

となる。実数解 $a$ が存在するための必要十分条件は判別式が $0$ 以上であることであるから，

$$ (-4x)^2-4\cdot 1\cdot 4(y-1)\geqq 0 $$

すなわち

$$ 16x^2-16(y-1)\geqq 0 $$

より

$$ y\leqq x^2+1 $$

である。

また，$y=x^2+1$ 上の点については $a=2x$ とすれば実際に対応する直線が存在するので，境界も含まれる。

したがって，直線 $PQ$ の通過する領域は

$$ y\leqq x^2+1 $$

である。図示すると，上に開く放物線 $y=x^2+1$ の内部およびその境界である。

（3） $|PQ|=2$ を満たしながら $a,b$ が変化するとき

まず，中点を $M$ とすると，その $y$ 座標は

$$ \frac{y_1+y_2}{2} =\frac{x_1^2+x_2^2}{2} $$

である。一方，

$$ b=a^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1^2+x_2^2 $$

より

$$ Mのy座標=\frac{b}{2} $$

となる。

次に，$|PQ|=2$ を式に直す。$P,Q$ は放物線 $y=x^2$ 上にあるから，

$$ |PQ|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 $$

であり，

$$ y_1-y_2=x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2) $$

だから

$$ |PQ|^2=(x_1-x_2)^2{1+(x_1+x_2)^2} $$

となる。ここで

$$ x_1+x_2=a,\qquad (x_1-x_2)^2=2b-a^2 $$

であるから，

$$ 4=(2b-a^2)(1+a^2) $$

を得る。よって

$$ 2b-a^2=\frac{4}{1+a^2} $$

すなわち

$$ b=\frac{1}{2}\left(a^2+\frac{4}{1+a^2}\right) $$

である。

したがって，中点の $y$ 座標を $Y$ とすると

$$ Y=\frac{b}{2} =\frac{a^2}{4}+\frac{1}{1+a^2} $$

となる。ここで $t=a^2\ (\geqq 0)$ とおくと

$$ Y=\frac{t}{4}+\frac{1}{1+t} $$

である。これを最小化する。

$$ \frac{dY}{dt}=\frac{1}{4}-\frac{1}{(1+t)^2} $$

より，

$$ \frac{dY}{dt}=0 \iff (1+t)^2=4 \iff t=1 $$

である。したがって最小値は

$$ Y=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4} $$

となる。

解説

この問題の中心は，交点の $x$ 座標 $x_1,x_2$ を二次方程式の解として扱うことである。すると

$$ x_1+x_2=a,\qquad (x_1-x_2)^2=2b-a^2 $$

が得られ，条件が非常に扱いやすくなる。

（2） では，直線群

$$ y=ax-\frac{a^2}{4}+1 $$

を得たあと，点 $(x,y)$ を固定して「その点を通る直線が存在する条件」を判別式で処理するのが典型である。領域問題で媒介変数を消去するときの基本手法である。

（3） では，中点の $y$ 座標が $\dfrac{b}{2}$ に一致することに気づけると整理が一気に進む。距離条件を $a,b$ に直して 1 変数関数の最小化に落とすのが自然である。

答え

**(1)**

$$ b=\frac{a^2}{2}+2 $$

**(2)**

直線 $PQ$ の通過する領域は

$$ y\leqq x^2+1 $$

である。

境界は放物線 $y=x^2+1$ であり，その下側の領域を含む。

**(3)**

線分 $PQ$ の中点の $y$ 座標の最小値は

$$ \frac{3}{4} $$

である。