解説

方針・初手

（1） は $x,y$ を $s,t$ で表した式が一次式なので、逆に $s,t$ を $x,y$ で表して不等式条件に直すのが基本である。

（2） は $y=s+t-1$ を使って $s+t$ を固定したときの $x$ の取りうる範囲を調べるか、$x,y$ から平方完成型の関係式を作るのが有効である。

解法1

**(1)**

$$ x=s+t+1,\qquad y=s-t-1 $$

より、両式を加えると

$$ x+y=2s $$

したがって

$$ s=\frac{x+y}{2} $$

また、両式を引くと

$$ x-y=2t+2 $$

であるから

$$ t=\frac{x-y-2}{2} $$

となる。

ここで条件 $s\geqq 0,\ t\geqq 0$ を用いると、

$$ \frac{x+y}{2}\geqq 0,\qquad \frac{x-y-2}{2}\geqq 0 $$

すなわち

$$ x+y\geqq 0,\qquad x-y\geqq 2 $$

である。

これを $y$ について書けば、

$$ y\geqq -x,\qquad y\leqq x-2 $$

となる。

よって、点 $(x,y)$ の動く範囲は、直線 $y=-x$ の上側と直線 $y=x-2$ の下側の共通部分であり、境界も含む。

2直線の交点は

$$ -x=x-2 $$

より

$$ x=1,\qquad y=-1 $$

である。したがって、頂点 $(1,-1)$ をもつ角領域である。

**(2)**

$$ x=st+s-t+1,\qquad y=s+t-1 $$

であるから、

$$ y+1=s+t $$

である。

ここで

$$ (y+1)^2-4(x-2) $$

を計算すると、

$$ \begin{aligned} (y+1)^2-4(x-2) &=(s+t)^2-4(st+s-t-1) \\ &=s^2+2st+t^2-4st-4s+4t+4 \\ &=(s-t-2)^2 \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ (y+1)^2-4(x-2)\geqq 0 $$

すなわち

$$ x\leqq \frac{(y+1)^2}{4}+2 $$

を得る。

よって、点 $(x,y)$ は放物線

$$ (y+1)^2=4(x-2) $$

の左側にある。

さらに、境界上の点も実際にとれることを確かめる。 等号成立は

$$ (s-t-2)^2=0 $$

すなわち

$$ s-t=2 $$

のときである。したがって境界の放物線上の点も実現される。

また、不等式

$$ x\leqq \frac{(y+1)^2}{4}+2 $$

を満たす任意の $(x,y)$ に対して、

$$ d=\sqrt{(y+1)^2-4(x-2)} $$

とおけば $d\geqq 0$ であり、

$$ s+t=y+1,\qquad s-t-2=d $$

を解いて

$$ s=\frac{y+3+d}{2},\qquad t=\frac{y-1-d}{2} $$

とできるので、そのような $(x,y)$ は実際にすべて実現される。

したがって、点 $(x,y)$ の動く範囲は放物線 $(y+1)^2=4(x-2)$ の左側全体であり、境界も含む。

解説

（1） は一次変換なので、$s,t$ を $x,y$ で解き直せば、条件がそのまま半平面の条件に変わる。すると領域は2本の直線で囲まれる角領域になる。

（2） は $s,t$ を直接消去しにくく見えるが、$y+1=s+t$ に注目すると、$x$ と組み合わせて平方の形 $(s-t-2)^2$ が現れる。ここから放物線の内側ではなく、左側の領域であることが一気に分かる。

答え

**(1)**

点 $(x,y)$ の動く範囲は

$$ x+y\geqq 0,\qquad x-y\geqq 2 $$

すなわち

$$ y\geqq -x,\qquad y\leqq x-2 $$

を満たす部分である。

境界を含み、2直線 $y=-x,\ y=x-2$ による頂点 $(1,-1)$ の角領域である。

**(2)**

点 $(x,y)$ の動く範囲は

$$ (y+1)^2\geqq 4(x-2) $$

すなわち

$$ x\leqq \frac{(y+1)^2}{4}+2 $$

を満たす部分である。

境界を含み、放物線

$$ (y+1)^2=4(x-2) $$

の左側全体である。