解説

方針・初手

点 $(x,y)$ を通る直線 $l_t$ が存在する条件は

$$ y=2tx-t^2 $$

を満たす実数 $t$ が存在することである。したがって、$t$ についての二次方程式

$$ t^2-2xt+y=0 $$

を考えればよい。

（1） ではこの方程式がただ1つの実数解をもつ条件、（2） ではこの方程式が $|t|\le 1$ の範囲に解をもつ条件を調べればよい。

解法1

点 $P=(x,y)$ を通る直線 $l_t$ は

$$ y=2tx-t^2 $$

を満たす $t$ に対応するから、$t$ は

$$ t^2-2xt+y=0 $$

の解である。

（1） 点 $P$ を通る直線 $l_t$ がただ1つである条件

「ただ1つである」とは、上の二次方程式が重解をもつことに等しい。よって判別式を $0$ とおけば

$$ (-2x)^2-4y=0 $$

すなわち

$$ 4x^2-4y=0 $$

であるから、

$$ y=x^2 $$

を得る。

したがって、このような点 $P$ の軌跡は放物線

$$ y=x^2 $$

である。

（2） $|t|\le 1$ の範囲で動くとき、直線 $l_t$ が通る点全体

固定した $x$ に対し

$$ f(t)=2xt-t^2 $$

とおくと、点 $(x,y)$ が求める領域に属することと、ある $t\in[-1,1]$ が存在して

$$ y=f(t) $$

となることは同値である。

ここで

$$ f(t)=-(t-x)^2+x^2 $$

であるから、$f(t)$ は下に凸ではなく上に凸の二次関数である。よって、$t\in[-1,1]$ における値の範囲は最小値と最大値の間の区間になる。

まず最大値を求める。

$f(t)$ の頂点は $t=x$ にあるので、

**(i)**

$|x|\le 1$ のときは頂点が区間内にあり、

$$ \max f(t)=f(x)=x^2 $$

である。

**(ii)**

$x\ge 1$ のときは区間 $[-1,1]$ で単調増加だから、

$$ \max f(t)=f(1)=2x-1 $$

である。

**(iii)**

$x\le -1$ のときは区間 $[-1,1]$ で単調減少だから、

$$ \max f(t)=f(-1)=-2x-1 $$

である。

次に最小値を求める。上に凸の二次関数なので最小値は端点でとる。端点の値は

$$ f(1)=2x-1,\qquad f(-1)=-2x-1 $$

であるから、

$$ \min f(t)=\min(2x-1,,-2x-1)=-2|x|-1 $$

となる。

以上より、求める点 $(x,y)$ の全体は

$$ -2|x|-1\le y\le \begin{cases} x^2 & (|x|\le 1),\\ 2|x|-1 & (|x|\ge 1) \end{cases} $$

で表される。

図示すると、上側の境界は

• $-1\le x\le 1$ では放物線 $y=x^2$
• $x\ge 1$ では直線 $y=2x-1$
• $x\le -1$ では直線 $y=-2x-1$

であり、下側の境界は

• $x\ge 0$ では直線 $y=-2x-1$
• $x\le 0$ では直線 $y=2x-1$

である。

解説

この直線群は、放物線 $y=x^2$ の接線群になっている。実際、$x=t$ における接線は

$$ y=2t(x-t)+t^2=2tx-t^2 $$

である。

したがって （1） は「ある点から放物線に引ける接線がちょうど1本である点の軌跡」と見てもよく、その軌跡が放物線自身になることが分かる。

また （2） は、接点の $x$ 座標が $-1\le t\le 1$ に制限された接線群の通過領域である。固定した $x$ に対して $y=2xt-t^2$ を $t$ の関数と見て、その最大・最小を調べるのが最も処理しやすい。

答え

**(1)**

点 $P$ の軌跡は

$$ y=x^2 $$

である。

**(2)**

直線 $l_t\ (|t|\le 1)$ が通る点 $(x,y)$ の全体は

$$ -2|x|-1\le y\le \begin{cases} x^2 & (|x|\le 1),\\ 2|x|-1 & (|x|\ge 1) \end{cases} $$

である。

すなわち、上側の境界が

$$ y=x^2\quad(-1\le x\le 1),\qquad y=2x-1\quad(x\ge 1),\qquad y=-2x-1\quad(x\le -1) $$

であり、下側の境界が

$$ y=-2|x|-1 $$

である領域である。