解説

注意

画像では （1） と （2） がともに「線分 $CH$ の長さを $a,b$ で表せ」と読め，（2） は （1） と重複している。以下ではその読み取りに従って解答する。

方針・初手

点 $Q(a,b,0)$ が与えられると，直線 $AQ$ は一意に定まる。 したがって，まず直線 $AQ$ への点 $C$ からの垂線の足 $H$ を求め，直線 $AQ$ と球面が交わる条件を「中心 $C$ から直線 $AQ$ までの距離が半径 $1$ 以下である」として処理するのが自然である。

解法1

**(1)**

点

$$ A(0,0,3),\quad Q(a,b,0) $$

より，

$$ \overrightarrow{AQ}=(a,b,-3) $$

である。

$H$ は直線 $AQ$ 上の点であり，

$$ \overrightarrow{AH}=k\overrightarrow{AQ} $$

を満たすから，

$$ H=A+k(Q-A)=(ka,kb,3-3k) $$

と表せる。

また，$CH\perp AQ$ より

$$ \overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AQ}=0 $$

が成り立つ。ここで

$$ \overrightarrow{CH}=(ka,\ kb-2,\ 1-3k) $$

なので，

$$ (ka,\ kb-2,\ 1-3k)\cdot (a,b,-3)=0 $$

すなわち

$$ ka^2+b(kb-2)-3(1-3k)=0 $$

である。整理すると

$$ k(a^2+b^2+9)-2b-3=0 $$

ゆえに

$$ k=\frac{2b+3}{a^2+b^2+9} $$

である。

次に，$AH=k,AQ$ であるから，

$$ AH^2=k^2(a^2+b^2+9) =\frac{(2b+3)^2}{a^2+b^2+9} $$

一方，

$$ AC^2=(0-0)^2+(2-0)^2+(2-3)^2=5 $$

であり，三角形 $AHC$ は $H$ で直角だから，

$$ CH^2=AC^2-AH^2 =5-\frac{(2b+3)^2}{a^2+b^2+9} $$

したがって

$$ CH^2=\frac{5(a^2+b^2+9)-(2b+3)^2}{a^2+b^2+9} =\frac{5a^2+(b-6)^2}{a^2+b^2+9} $$

よって

$$ CH=\sqrt{\frac{5a^2+(b-6)^2}{a^2+b^2+9}} $$

である。

**(2)**

画像の文面どおりであれば （1） と同じ内容なので，

$$ CH=\sqrt{\frac{5a^2+(b-6)^2}{a^2+b^2+9}} $$

である。

**(3)**

点 $P$ が球面上を動くとき，直線 $AP$ と同じ直線が $xy$ 平面と交わる点が $Q$ である。 したがって，ある $Q$ が存在範囲に入るための条件は，直線 $AQ$ が球面

$$ x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=1 $$

と交わることである。

球の中心は $C$，半径は $1$ であるから，直線 $AQ$ が球面と交わるための必要十分条件は

$$ CH\le 1 $$

である。

上で求めた式を用いると，

$$ \sqrt{\frac{5a^2+(b-6)^2}{a^2+b^2+9}}\le 1 $$

すなわち

$$ \frac{5a^2+(b-6)^2}{a^2+b^2+9}\le 1 $$

である。両辺に $a^2+b^2+9$ を掛けて整理すると，

$$ 5a^2+(b-6)^2\le a^2+b^2+9 $$

$$ 5a^2+b^2-12b+36\le a^2+b^2+9 $$

$$ 4a^2-12b+27\le 0 $$

ゆえに

$$ b\ge \frac13 a^2+\frac94 $$

となる。

したがって，点 $Q$ の存在範囲は，$xy$ 平面上で

$$ b\ge \frac13 a^2+\frac94 $$

を満たす領域，すなわち放物線

$$ b=\frac13 a^2+\frac94 $$

の上側（境界を含む）である。

解説

この問題の本質は，点 $P$ を直接追うのではなく，直線 $AQ$ を媒介として考えることである。 球面と直線の交点の有無は，中心から直線までの距離と半径の大小比較に落ちる。

したがって，

$$ \text{直線 }AQ\text{ が球面と交わる} \iff CH\le 1 $$

という見方が決定的である。 また，$H$ を垂線の足として導入すると，$CH$ が直線までの距離そのものになるので，最後は不等式処理だけで点 $Q$ の存在範囲が求まる。

答え

**(1)**

$$ k=\frac{2b+3}{a^2+b^2+9} $$

$$ CH=\sqrt{\frac{5a^2+(b-6)^2}{a^2+b^2+9}} $$

**(2)**

画像の文面どおりなら （1） と同じで，

$$ CH=\sqrt{\frac{5a^2+(b-6)^2}{a^2+b^2+9}} $$

**(3)**

点 $Q(a,b,0)$ の存在範囲は

$$ b\ge \frac13 a^2+\frac94 $$

である。

したがって，$xy$ 平面上では放物線

$$ b=\frac13 a^2+\frac94 $$

の上側の領域（境界を含む）である。