解説

方針・初手

点 $P,Q$ を座標でおくと、条件 $OP+OQ=\sqrt2$ は 1 本の簡単な式になる。さらに、線分 $PQ$ 上の点 $(x,y)$ を媒介変数で表すと $x+y,\ x-y$ がきれいに整理できるので、まず領域 $S$ を 1 つの不等式で表す。その不等式から上側の境界を求めれば、（1） と （3） も順に処理できる。

解法1

直線 $L:y=x$ 上の点 $P$ を

$$ P=(p,p) $$

直線 $M:y=-x$ 上の点 $Q$ を

$$ Q=(q,-q) $$

とおく。

このとき

$$ OP=\sqrt{p^2+p^2}=\sqrt2,|p|,\qquad OQ=\sqrt{q^2+(-q)^2}=\sqrt2,|q| $$

であるから、条件 $OP+OQ=\sqrt2$ は

$$ |p|+|q|=1 $$

となる。

いま、線分 $PQ$ 上の点 $R=(x,y)$ を

$$ R=(1-t)P+tQ\qquad (0\le t\le1) $$

と表すと、

$$ x=(1-t)p+tq,\qquad y=(1-t)p-tq $$

である。したがって

$$ x+y=2(1-t)p,\qquad x-y=2tq $$

を得る。

よって

$$ |p|=\frac{|x+y|}{2(1-t)},\qquad |q|=\frac{|x-y|}{2t} $$

であり、$|p|+|q|=1$ から

$$ \frac{|x+y|}{2(1-t)}+\frac{|x-y|}{2t}=1 $$

となる。

ここで

$$ A=\frac{|x+y|}{2},\qquad B=\frac{|x-y|}{2} $$

とおくと、

$$ \frac{A}{1-t}+\frac{B}{t}-(\sqrt A+\sqrt B)^2 =\frac{(\sqrt A,t-\sqrt B,(1-t))^2}{t(1-t)}\ge0 $$

より

$$ \frac{A}{1-t}+\frac{B}{t}\ge(\sqrt A+\sqrt B)^2 $$

である。したがって、ある $t$ が存在して上の式が成り立つための必要十分条件は

$$ (\sqrt A+\sqrt B)^2\le1 $$

すなわち

$$ \sqrt{\frac{|x+y|}{2}}+\sqrt{\frac{|x-y|}{2}}\le1 $$

である。

これが領域 $S$ の表し方である。

（1） 直線 $x=a$ と線分 $PQ$ の交点の $y$ 座標の最大値

上で得た条件式に $x=a$ を代入すると、

$$ \sqrt{\frac{|a+y|}{2}}+\sqrt{\frac{|a-y|}{2}}\le1 $$

である。

最大値は上側の境界上でとるので、そのとき $y\ge |a|$ であり、

$$ a+y\ge0,\qquad a-y\le0 $$

となる。よって境界式は

$$ \sqrt{\frac{a+y}{2}}+\sqrt{\frac{y-a}{2}}=1 $$

である。

ここで

$$ u=\sqrt{\frac{a+y}{2}},\qquad v=\sqrt{\frac{y-a}{2}} $$

とおくと、

$$ u+v=1 $$

かつ

$$ u^2-v^2=\frac{a+y}{2}-\frac{y-a}{2}=a $$

である。したがって

$$ (u-v)(u+v)=a $$

より

$$ u-v=a $$

を得る。$u+v=1$ と合わせると

$$ u=\frac{1+a}{2},\qquad v=\frac{1-a}{2} $$

であるから、

$$ y=u^2+v^2 =\frac{(1+a)^2+(1-a)^2}{4} =\frac{1+a^2}{2} $$

となる。

ゆえに、求める最大値は

$$ \frac{1+a^2}{2} $$

である。

（2） 不等式を用いて領域 $S$ を表す

すでに求めた通り、

$$ S=\left\{(x,y)\ \middle|\ \sqrt{\frac{|x+y|}{2}}+\sqrt{\frac{|x-y|}{2}}\le1\right\} $$

である。

なお、上側境界は

$$ y=\frac{1+x^2}{2}\qquad (-1\le x\le1) $$

であり、同様に対称性から

$$ y=-\frac{1+x^2}{2},\qquad x=\frac{1+y^2}{2},\qquad x=-\frac{1+y^2}{2} $$

が他の境界になる。

（3） $S$ の面積

領域 $S$ は $x$ 軸、$y$ 軸、さらに直線 $y=x$ に関して対称である。

したがって、第1象限で $y\ge x$ の部分だけを求めて 8 倍すればよい。

この部分では、下側の境界は $y=x$、上側の境界は

$$ y=\frac{1+x^2}{2} $$

であり、交点は

$$ x=\frac{1+x^2}{2} $$

より

$$ x^2-2x+1=0 $$

すなわち

$$ x=1 $$

である。また $x=0$ では上側境界は $y=\frac12$ であるから、求める部分の面積は

$$ \int_0^1\left(\frac{1+x^2}{2}-x\right),dx $$

となる。よって

$$ \int_0^1\left(\frac{1+x^2}{2}-x\right),dx =\left[\frac{x}{2}+\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 =\frac16 $$

である。

したがって、領域 $S$ の面積は

$$ 8\cdot\frac16=\frac43 $$

となる。

解説

この問題の本質は、線分 $PQ$ 上の点 $(x,y)$ を媒介変数で表したとき

$$ x+y,\qquad x-y $$

が非常に扱いやすい形になることである。そこから領域全体を

$$ \sqrt{\frac{|x+y|}{2}}+\sqrt{\frac{|x-y|}{2}}\le1 $$

という 1 本の不等式で表せる。

その後は、上側境界を求めて面積を積分で出せばよい。対称性を使わずに全体を直接積分しようとすると見通しが悪くなるので、対称性を先に見抜くことが重要である。

答え

**(1)**

直線 $x=a\ (-1\le a\le1)$ と線分 $PQ$ の交点の $y$ 座標の最大値は

$$ \frac{1+a^2}{2} $$

**(2)**

領域 $S$ は

$$ \sqrt{\frac{|x+y|}{2}}+\sqrt{\frac{|x-y|}{2}}\le1 $$

で表される。

**(3)**

$S$ の面積は

$$ \frac43 $$