解説

方針・初手

平面 $z=0$ 上の点を $R=(x,y,0)$ とおき，直線 $PR$ が球面 $S$ と交わるための条件を求める。

実際，$R$ がその条件を満たせば，直線 $PR$ と球面 $S$ の交点を $Q$ とできるので，それがちょうど $R$ の動く範囲になる。

解法1

平面 $z=0$ 上の点を

$$ R=(x,y,0) $$

とおく。

点 $P(1,0,2)$ と $R$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと，

$$ (X,Y,Z)=(1+t(x-1),,ty,,2-2t) $$

である。

この直線が球面

$$ S:\ x^2+y^2+(z-1)^2=1 $$

と交わる条件を求めればよい。

直線の式を球面の方程式に代入すると，

$$ (1+t(x-1))^2+(ty)^2+{(2-2t)-1}^2=1 $$

すなわち，

$$ (1+t(x-1))^2+t^2y^2+(1-2t)^2=1 $$

となる。展開して整理すると，

$$ \bigl((x-1)^2+y^2+4\bigr)t^2+2(x-3)t+1=0 $$

を得る。

この二次方程式が実数解をもつことが，直線 $PR$ が球面 $S$ と交わるための必要十分条件である。したがって判別式を $D$ とすると，

$$ D={2(x-3)}^2-4\bigl((x-1)^2+y^2+4\bigr)\geqq 0 $$

であればよい。

これを整理すると，

$$ (x-3)^2-\bigl((x-1)^2+y^2+4\bigr)\geqq 0 $$

$$ x^2-6x+9-x^2+2x-1-y^2-4\geqq 0 $$

$$ 4-4x-y^2\geqq 0 $$

よって，

$$ y^2+4x\leqq 4 $$

となる。

したがって，$R$ の動く範囲は平面 $z=0$ 上で

$$ y^2+4x\leqq 4 $$

を満たす点全体である。

境界は

$$ y^2=4(1-x) $$

で表される放物線であり，その左側の領域（境界を含む）が求める範囲である。

解説

$Q$ を球面上の点として直接文字でおいて計算してもよいが，この問題では「平面上の点 $R$ から見て，直線 $PR$ が球に当たるかどうか」を調べるほうが素直である。

境界は，直線 $PR$ が球面に接するときに生じる。実際，判別式 $D=0$ がその場合に対応し，放物線

$$ y^2=4(1-x) $$

が境界として現れる。

また，$Q$ が $(0,0,2)$ に近づくと，直線 $PQ$ は平面 $z=0$ と非常に遠いところで交わるため，領域が左方向に無限に広がることも分かる。

答え

$R$ の動く範囲は，平面 $z=0$ 上の

$$ y^2+4x\leqq 4 $$

を満たす点全体である。

すなわち，放物線

$$ y^2=4(1-x) $$

の左側の領域（境界を含む）である。