解説

方針・初手

まず

$$ y=|x|+|x-1|+1 $$

を区分的に表す。すると，直線 $y=px+q$ がこのグラフと交わらない条件は，$q$ と $p$ の関係として整理できる。

一方，$y=x^2-x$ と交わる条件は，連立して得られる2次方程式が実数解をもつこと，すなわち判別式 $\geqq 0$ で表せる。

この2つの条件を重ねれば，$(p,q)$ の範囲が求まる。

解法1

まず

$$ |x|+|x-1|+1= \begin{cases} -2x+2 & (x\leqq 0),\\ 2 & (0\leqq x\leqq 1),\\ 2x & (x\geqq 1) \end{cases} $$

である。

したがって，$y=px+q$ がこのグラフと交わらない条件は，

$$ q\neq \left(|x|+|x-1|+1\right)-px $$

がすべての実数 $x$ で成り立つことと同値である。そこで

$$ G(x)=|x|+|x-1|+1-px $$

とおく。

すると

$$ G(x)= \begin{cases} (-p-2)x+2 & (x\leqq 0),\\ 2-px & (0\leqq x\leqq 1),\\ (2-p)x & (x\geqq 1) \end{cases} $$

となる。

$y=|x|+|x-1|+1$ と交わらない条件

$G(x)$ の最小値を調べる。

**(i)**

$p<-2$ のとき

$x\leqq 0$ の部分で $(-p-2)>0$ だから，$x\to -\infty$ とすると $G(x)\to -\infty$ となる。 よってこのとき，$q$ をどうとっても $q=G(x)$ となる $x$ が存在するので，交わらないことは不可能である。

**(ii)**

$-2\leqq p\leqq 0$ のとき

• $x\leqq 0$ では $(-p-2)\leqq 0$ なので，最小値は $x=0$ で $2$
• $0\leqq x\leqq 1$ では $-p\geqq 0$ なので，最小値は $x=0$ で $2$
• $x\geqq 1$ では $(2-p)>0$ なので，最小値は $x=1$ で $2-p\geqq 2$

したがって，このとき

$$ \min G(x)=2 $$

である。よって交わらない条件は

$$ q<2 $$

となる。

**(iii)**

$0\leqq p\leqq 2$ のとき

• $x\leqq 0$ では $(-p-2)<0$ なので，最小値は $x=0$ で $2$
• $0\leqq x\leqq 1$ では $-p\leqq 0$ なので，最小値は $x=1$ で $2-p$
• $x\geqq 1$ では $(2-p)\geqq 0$ なので，最小値は $x=1$ で $2-p$

したがって，このとき

$$ \min G(x)=2-p $$

である。よって交わらない条件は

$$ q<2-p $$

となる。

**(iv)**

$p>2$ のとき

$x\geqq 1$ の部分で $(2-p)<0$ だから，$x\to \infty$ とすると $G(x)\to -\infty$ となる。 よってこのときも，交わらないことは不可能である。

以上より，

$$ y=px+q \text{ が } y=|x|+|x-1|+1 \text{ と交わらない条件} $$

は

$$ \begin{cases} -2\leqq p\leqq 0,\ q<2,\\ 0\leqq p\leqq 2,\ q<2-p \end{cases} $$

である。

$y=x^2-x$ と交わる条件

直線と放物線の交点は

$$ x^2-x=px+q $$

すなわち

$$ x^2-(p+1)x-q=0 $$

の実数解に対応する。

したがって，交わる条件は判別式が $0$ 以上であることから

$$ (p+1)^2+4q\geqq 0 $$

すなわち

$$ q\geqq -\frac{(p+1)^2}{4} $$

である。

条件の合成

以上を合わせると，求める $(p,q)$ の範囲は

$$ \begin{cases} -2\leqq p\leqq 0,\ -\dfrac{(p+1)^2}{4}\leqq q<2,\\[1.2ex] 0\leqq p\leqq 2,\ -\dfrac{(p+1)^2}{4}\leqq q<2-p \end{cases} $$

である。

したがって，$(p,q)$ 平面では，下側の境界が放物線

$$ q=-\frac{(p+1)^2}{4}, $$

上側の境界が

$$ q=2 \quad (-2\leqq p\leqq 0), \qquad q=2-p \quad (0\leqq p\leqq 2) $$

で囲まれる部分となる。

面積

求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-2}^{0}\left(2+\frac{(p+1)^2}{4}\right),dp +\int_{0}^{2}\left(2-p+\frac{(p+1)^2}{4}\right),dp $$

である。

第1項は

$$ \int_{-2}^{0}\left(2+\frac{(p+1)^2}{4}\right),dp =4+\frac14\int_{-2}^{0}(p+1)^2,dp =4+\frac14\cdot\frac23 =\frac{25}{6} $$

第2項は

$$ \int_{0}^{2}\left(2-p+\frac{(p+1)^2}{4}\right),dp =\int_{0}^{2}\left(\frac14p^2-\frac12p+\frac94\right),dp $$

$$ =\left[\frac{p^3}{12}-\frac{p^2}{4}+\frac{9p}{4}\right]_{0}^{2} =\frac{2}{3}-1+\frac{9}{2} =\frac{25}{6} $$

よって

$$ S=\frac{25}{6}+\frac{25}{6}=\frac{25}{3} $$

となる。

解説

絶対値を含む関数は，まず区分的に1次関数へ直すのが基本である。この問題では

• $y=|x|+|x-1|+1$ が折れ線になること
• 直線 $y=px+q$ との交点条件を，$q=G(x)$ の形でみると「$G(x)$ の最小値」として整理できること

がポイントである。

また，放物線との交点条件は判別式で一気に処理できる。 したがって，「上側の境界は折れ線由来の直線群，下側の境界は判別式由来の放物線」という図形になる。

答え

求める $(p,q)$ の範囲は

$$ \begin{cases} -2\leqq p\leqq 0,\ -\dfrac{(p+1)^2}{4}\leqq q<2,\\[1.2ex] 0\leqq p\leqq 2,\ -\dfrac{(p+1)^2}{4}\leqq q<2-p \end{cases} $$

であり，その面積は

$$ \frac{25}{3} $$

である。