解説

方針・初手

点 $(x,y)$ が，ある $a>0$ に対する放物線

$$ y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a} $$

上にあるための条件を，$a$ について調べる。

すなわち，$(x,y)$ を固定して，これを $a$ の方程式とみなし，正の実数解をもつ条件を場合分けして求めればよい。

解法1

$(x,y)$ が通過領域に属するための条件は，

$$ y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a} $$

を満たす $a>0$ が存在することである。これを整理すると，

$$ 4ay=4a^2x^2+1-4a^2 $$

より，

$$ 4(x^2-1)a^2-4ya+1=0 $$

すなわち

$$ (x^2-1)a^2-ya+\frac14=0 $$

となる。したがって，この2次方程式が正の実数解をもつ条件を調べればよい。

**(i)**

$|x|<1$ のとき

このとき $x^2-1<0$ であるから，$a^2$ の係数は負である。

判別式は

$$ \Delta =(-y)^2-4(x^2-1)\cdot \frac14 = y^2-(x^2-1) = y^2+1-x^2 $$

であり，$|x|<1$ なら

$$ \Delta=y^2+1-x^2>0 $$

となるので，実数解を2つもつ。

また，解の積は

$$ \frac{1/4}{x^2-1}<0 $$

であるから，2つの解は異符号である。したがって，必ず正の解を1つもつ。

よって，$|x|<1$ では $y$ は任意でよい。

**(ii)**

$|x|=1$ のとき

このとき方程式は

$$ -ya+\frac14=0 $$

となるので，

$$ a=\frac{1}{4y} $$

である。ここで $a>0$ であるためには

$$ y>0 $$

が必要十分である。

したがって，$x=\pm 1$ では $y>0$ の部分だけが通過領域である。

**(iii)**

$|x|>1$ のとき

このとき $x^2-1>0$ であるから，解の積

$$ \frac{1/4}{x^2-1}>0 $$

より，実数解があれば2解は同符号である。正の解をもつためには，2解が実数で，かつ正でなければならない。

まず実数解をもつ条件は

$$ \Delta=y^2-(x^2-1)\geqq 0 $$

すなわち

$$ y^2\geqq x^2-1 $$

である。

さらに解の和は

$$ \frac{y}{x^2-1} $$

であるから，2解が正であるためには

$$ \frac{y}{x^2-1}>0 $$

すなわち $y>0$ が必要である。

以上を合わせると，

$$ y\geqq \sqrt{x^2-1} $$

が必要十分である。

以上より，通過領域は

$$ {(x,y)\mid |x|<1} \times \mathbb{R} ;\cup; {(x,y)\mid x=\pm 1,\ y>0} ;\cup; {(x,y)\mid |x|>1,\ y\geqq \sqrt{x^2-1}} $$

である。

解説

点 $(x,y)$ を固定して，それを通る放物線が存在するかどうかを，媒介変数 $a$ の方程式の解の存在に帰着するのが基本方針である。

境界として現れる

$$ y=\sqrt{x^2-1} $$

は

$$ x^2-y^2=1,\quad y\geqq 0 $$

で表される双曲線の上側である。

したがって図形としては，$-1<x<1$ の縦の帯の内部は上下すべて含まれ，その外側では双曲線 $x^2-y^2=1$ の上側部分以上が通過領域になる。ただし $(1,0),(-1,0)$ は含まれない。

答え

通過領域は

$$ {(x,y)\mid |x|<1} \times \mathbb{R} ;\cup; {(x,y)\mid x=\pm 1,\ y>0} ;\cup; {(x,y)\mid |x|>1,\ y\geqq \sqrt{x^2-1}} $$

である。

すなわち，$-1<x<1$ では全平面方向に通過し，$|x|>1$ では双曲線

$$ x^2-y^2=1 \quad (y\geqq 0) $$

の上側が通過領域であり，$(\pm 1,0)$ は含まれない。