解説

方針・初手

放物線が $x$ 軸に点 $(t^2,0)$ で接するという条件から，その頂点は $(t^2,0)$ であり，方程式は

$$ y=a(x-t^2)^2 $$

と書ける。さらに，点 $(-1,1+t^2)$ を通る条件から $a$ を決める。

その後，$t^2$ を媒介変数 $s\ (\ge0)$ とおいて，固定した $x$ に対して $y$ の最小値を求めれば，放物線群の通りうる範囲が分かる。

解法1

放物線は点 $(t^2,0)$ で $x$ 軸に接するから，

$$ y=a(x-t^2)^2 $$

と表せる。

これが点 $(-1,1+t^2)$ を通るので，

$$ 1+t^2=a(-1-t^2)^2=a(1+t^2)^2 $$

より，

$$ a=\frac{1}{1+t^2} $$

である。したがって，放物線群は

$$ y=\frac{(x-t^2)^2}{1+t^2} $$

で表される。

ここで

$$ s=t^2 \quad (s\ge0) $$

とおくと，放物線群は

$$ y=\frac{(x-s)^2}{1+s} $$

となる。

固定した $x$ に対して

$$ f(s)=\frac{(x-s)^2}{1+s}\qquad (s\ge0) $$

の最小値を求めればよい。

まず微分すると，

$$ f'(s)=\frac{(s-x)(s+x+2)}{(1+s)^2} $$

となる。

以下，$x$ の値によって場合分けする。

**(i)**

$x\ge0$ のとき

このとき $s=x\ (\ge0)$ が許されるので，

$$ f(x)=0 $$

である。しかも $y\ge0$ だから，最小値は

$$ 0 $$

である。

したがって，

$$ x\ge0 \text{ では } y\ge0 $$

となる。

**(ii)**

$-2\le x\le0$ のとき

このとき $s=-x-2\le0$ であり，$s\ge0$ の範囲では使えない。したがって，$s\ge0$ における極値候補は $s=0$ のみである。

実際，$s\ge0$ では $f(s)$ は増加するので，

$$ f(0)=x^2 $$

が最小値である。

よって，

$$ -2\le x\le0 \text{ では } y\ge x^2 $$

となる。

**(iii)**

$x\le-2$ のとき

このとき $s=-x-2\ge0$ が許されるので，これを代入すると

$$ f(-x-2)=\frac{(x-(-x-2))^2}{1+(-x-2)} $$

$$ =\frac{(2x+2)^2}{-x-1} =\frac{4(x+1)^2}{-(x+1)} =-4(x+1) $$

である。

したがって最小値は

$$ -4x-4 $$

となる。

よって，

$$ x\le-2 \text{ では } y\ge -4x-4 $$

となる。

以上より，放物線群の通りうる範囲は

$$ y\ge \begin{cases} -4x-4 & (x\le-2),\\ x^2 & (-2\le x\le0),\\ 0 & (x\ge0) \end{cases} $$

である。

解説

この問題は，放物線の式をまず媒介変数で表し，その後「固定した $x$ に対して，その点を通る放物線が存在するための $y$ の範囲」を調べる問題である。

各放物線は上に開くので，固定した $x$ に対して $y$ はある最小値以上をとる。その最小値を $t^2$ について求めると，放物線群全体の下側の境界が得られる。

境界は

• $x\le-2$ では直線 $y=-4x-4$
• $-2\le x\le0$ では放物線 $y=x^2$
• $x\ge0$ では $x$ 軸 $y=0$

となる。直線 $y=-4x-4$ は，点 $(-2,4)$ で放物線 $y=x^2$ に接している。

答え

放物線の通りうる範囲は，

$$ y\ge \begin{cases} -4x-4 & (x\le-2),\\ x^2 & (-2\le x\le0),\\ 0 & (x\ge0) \end{cases} $$

である。

したがって，図示すると，境界は

半直線 $y=-4x-4\ (x\le-2)$

放物線 $y=x^2\ (-2\le x\le0)$

半直線 $y=0\ (x\ge0)$

からなり，求める範囲はその境界を含む上側全体である。