解説

方針・初手

球面の式を平方完成して中心と半径を出すのが出発点である。

そのうえで、（2）、（3） は直線を媒介変数で表して球面の式に代入する。 （4） は $Q$ を $xy$ 平面上の点 $(u,v,0)$ とおき、直線 $AQ$ が球面と共有点をもつ条件を、代入後の二次方程式の判別式 $D \geqq 0$ で表せばよい。

解法1

（1） 球面 $S$ の中心と半径

与えられた球面は

$$ x^2+y^2+z^2-4z=0 $$

である。これを平方完成すると

$$ x^2+y^2+(z-2)^2=4 $$

となる。

したがって、中心は

$$ C(0,0,2) $$

半径は

$$ 2 $$

である。

（2） 直線 $AC$ と $xy$ 平面の交点 $P$

点 $A(0,1,4)$、$C(0,0,2)$ であるから、直線 $AC$ は

$$ (x,y,z)=(0,1,4)+t(0,-1,-2) $$

と表せる。すなわち

$$ x=0,\quad y=1-t,\quad z=4-2t $$

である。

$xy$ 平面は $z=0$ であるから、

$$ 4-2t=0 $$

より

$$ t=2 $$

である。したがって

$$ P=(0,1-2,0)=(0,-1,0) $$

となる。

（3） 直線 $AB$ と球面 $S$ の共有点

点 $B(4,-1,0)$ であるから、

$$ \overrightarrow{AB}=(4,-2,-4) $$

であり、直線 $AB$ は

$$ (x,y,z)=(0,1,4)+t(4,-2,-4) $$

すなわち

$$ x=4t,\quad y=1-2t,\quad z=4-4t $$

と表せる。

これを球面の式に代入すると

$$ (4t)^2+(1-2t)^2+(4-4t)^2-4(4-4t)=0 $$

$$ 16t^2+(1-4t+4t^2)+(16-32t+16t^2)-16+16t=0 $$

$$ 36t^2-20t+1=0 $$

となる。これを解くと

$$ t=\frac{20\pm \sqrt{400-144}}{72} =\frac{20\pm 16}{72} $$

より

$$ t=\frac12,\quad \frac1{18} $$

である。

したがって共有点は、それぞれ

$$ t=\frac12 \text{ のとき } (x,y,z)=(2,0,2) $$

$$ t=\frac1{18} \text{ のとき } (x,y,z)=\left(\frac29,\frac89,\frac{34}9\right) $$

である。

（4） 点 $Q$ の動く範囲

$Q$ は $xy$ 平面上の点であるから

$$ Q=(u,v,0) $$

とおく。

直線 $AQ$ は

$$ (x,y,z)=(0,1,4)+t(u,v-1,-4) $$

すなわち

$$ x=tu,\quad y=1+t(v-1),\quad z=4-4t $$

と表せる。

この直線が球面 $S$ と共有点をもつためには、これを球面の式に代入して得られる $t$ の二次方程式が実数解をもてばよい。

代入すると

$$ (tu)^2+{1+t(v-1)}^2+(4-4t)^2-4(4-4t)=0 $$

$$ {u^2+(v-1)^2+16}t^2+(2v-18)t+1=0 $$

となる。

これが実数解をもつ条件は判別式 $D$ が $0$ 以上であることである。よって

$$ (2v-18)^2-4{u^2+(v-1)^2+16}\geqq 0 $$

である。整理すると

$$ 4(v-9)^2-4{u^2+(v-1)^2+16}\geqq 0 $$

$$ (v-9)^2-u^2-(v-1)^2-16\geqq 0 $$

$$ -u^2-16v+64\geqq 0 $$

したがって

$$ u^2+16v\leqq 64 $$

となる。

よって、点 $Q$ の動く範囲は $xy$ 平面上で

$$ x^2+16y\leqq 64 $$

を満たす部分、すなわち

$$ y\leqq 4-\frac{x^2}{16} $$

で表される領域である。

境界

$$ x^2+16y=64 $$

は下に開く放物線であり、その頂点は $(0,4)$、$x$ 軸との交点は $(8,0),,(-8,0)$ である。 求める範囲はこの放物線上およびその下側全体である。

解説

（4） が本問の要点である。 「直線が球面と共有点をもつ」という条件は、直線を媒介変数で表して球面に代入し、二次方程式が実数解をもつ条件に直すのが基本処理である。

また、境界 $x^2+16y=64$ は、直線 $AQ$ が球面に接するときに対応する。 内部では 2 点で交わり、境界では 1 点で接するという見方をすると、領域の意味が理解しやすい。

答え

**(1)**

中心は $C(0,0,2)$、半径は $2$ である。

**(2)**

$P=(0,-1,0)$

**(3)**

共有点は

$$ (2,0,2),\quad \left(\frac29,\frac89,\frac{34}9\right) $$

である。

**(4)**

点 $Q$ の動く範囲は

$$ x^2+16y\leqq 64 $$

で表される領域、すなわち放物線

$$ x^2+16y=64 $$

の上およびその下側全体である。