解説

方針・初手

接点を $P(t,at^2)$ とおき、$P$ が両方の放物線上にあることと、そこでの接線の傾きが一致することを書き下す。

すると接点の $x$ 座標 $t$ と $a,c$ の間の関係がすぐに出る。さらに接点を $(x,y)$ とおいて $a,c$ を消去すれば、接点の動く範囲は $x,y$ のみの条件で表せる。

解法1

まず、条件

$$ 1+c^2\le 2a $$

より

$$ a\ge \frac{1+c^2}{2}>0 $$

である。したがって $a$ は正である。

接点を $P(t,at^2)$ とする。$P$ は $C_1:y=ax^2$ 上にあるからこの形に書ける。$P$ が $C_2:y=b(x-1)^2+c$ 上にもあり、しかもそこで接するので、

$$ \begin{cases} at^2=b(t-1)^2+c,\\ 2at=2b(t-1) \end{cases} $$

が成り立つ。

第二式より

$$ at=b(t-1) $$

であるから、$t=1$ だと $a=0$ となって矛盾する。よって $t\ne 1$ である。

そこで第二式から

$$ b=\frac{at}{t-1} $$

を得る。これを第一式に代入すると、

$$ at^2=\frac{at}{t-1}(t-1)^2+c=at(t-1)+c $$

となるので、

$$ at^2=at^2-at+c $$

すなわち

$$ at=c $$

を得る。したがって

$$ t=\frac{c}{a} $$

である。よって接点の座標は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{c}{a},,a\left(\frac{c}{a}\right)^2\right) &= \left(\frac{c}{a},,\frac{c^2}{a}\right) \end{aligned} $$

となる。

これで （1） は求まった。

次に （2） を求める。接点を $(x,y)$ とおくと、上の結果より

$$ x=\frac{c}{a},\qquad y=\frac{c^2}{a} $$

である。

ここで $c\ne 0$ かつ $a\ne 0$ なので $x\ne 0$ である。また先ほど見たように接点の $x$ 座標は $1$ になれないので、$x\ne 1$ でもある。

さらに

$$ x=\frac{c}{a},\qquad y=\frac{c^2}{a} $$

から

$$ c=\frac{y}{x},\qquad a=\frac{y}{x^2} $$

と表せる。これを条件 (i)

$$ 1+c^2\le 2a $$

に代入すると、

$$ 1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\le 2\cdot \frac{y}{x^2} $$

となる。両辺に $x^2$ を掛けて整理すれば、

$$ x^2+y^2\le 2y $$

すなわち

$$ x^2+(y-1)^2\le 1 $$

を得る。

したがって接点は

$$ x^2+(y-1)^2\le 1 $$

を満たす円板の中を動く。

ただし、逆にこの円板内のどの点でもよいわけではない。実際、接点では $x\ne 0,1$ が必要である。

逆に、ある点 $(x,y)$ が

$$ x^2+(y-1)^2\le 1,\qquad x\ne 0,1 $$

を満たしているとする。このとき

$$ a=\frac{y}{x^2},\qquad c=\frac{y}{x},\qquad b=\frac{ax}{x-1}=\frac{y}{x(x-1)} $$

と定めると、円板条件より

$$ x^2+y^2\le 2y $$

であるから、

$$ 1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\le 2\cdot \frac{y}{x^2} $$

すなわち

$$ 1+c^2\le 2a $$

が成り立つ。また

$$ ax^2=y $$

であり、

$$ \begin{aligned} b(x-1)^2+c &= \frac{y}{x(x-1)}(x-1)^2+\frac{y}{x} \\ \frac{y(x-1)}{x}+\frac{y}{x} \\ y \end{aligned} $$

だから $(x,y)$ は $C_2$ 上にもある。さらに

$$ 2b(x-1)=2\cdot \frac{y}{x(x-1)}(x-1)=\frac{2y}{x} \qquad\text{かつ}\qquad 2ax=2\cdot \frac{y}{x^2},x=\frac{2y}{x} $$

より接線の傾きも一致する。したがって、この点は実際に接点として実現できる。

よって接点の動く範囲は

$$ {(x,y)\mid x^2+(y-1)^2\le 1,\ x\ne 0,1} $$

である。

図示すると、中心 $(0,1)$、半径 $1$ の円板から、$y$ 軸上の線分

$$ x=0,\quad 0\le y\le 2 $$

と、点 $(1,1)$ を除いた領域である。

解説

接する条件は、共有点をもつことに加えて、その点で導関数の値が一致することである。この問題では接点の $x$ 座標を $t$ とおくと計算が非常に素直になる。

また、接点の範囲を求めるときは、まず接点座標を $a,c$ で表し、次に $a,c$ を消去するのが基本方針である。すると不等式 (i) がそのまま円板の条件に変わる。

注意すべき点は、円板全体がそのまま範囲ではないことである。$x=0$ は $c=0$ を意味してしまい、条件に反する。また $x=1$ は接線条件から $a=0$ を強いてしまうので不可能である。

答え

**(1)**

接点の座標は

$$ \left(\frac{c}{a},,\frac{c^2}{a}\right) $$

である。

**(2)**

接点の動く範囲は

$$ {(x,y)\mid x^2+(y-1)^2\le 1,\ x\ne 0,1} $$

である。

すなわち、中心 $(0,1)$、半径 $1$ の円板から、$y$ 軸上の線分 $x=0,\ 0\le y\le 2$ と点 $(1,1)$ を除いた領域である。