解説

方針・初手

絶対値を含む式は，それぞれがどの図形を表すかをまず押さえるのがよい。

（1） は $|x|+|y|=\text{一定}$ 型なので菱形であり，（2） は $|y|=\dfrac12|x|+1$ より上下対称の折れ線である。

（3） は

$$ \left(|x|+|y|-3\right)\left(|y|-\frac12|x|-1\right)>0 $$

であるから，2つの因子が同符号，すなわち「両方とも正」または「両方とも負」となる領域を考えればよい。

解法1

**(1)**

方程式

$$ |x|+|y|=3 $$

を各象限で見ると，

$$ \begin{aligned} x+y&=3 \qquad &(x\geqq 0,\ y\geqq 0),\\ -x+y&=3 \qquad &(x\leqq 0,\ y\geqq 0),\\ -x-y&=3 \qquad &(x\leqq 0,\ y\leqq 0),\\ x-y&=3 \qquad &(x\geqq 0,\ y\leqq 0) \end{aligned} $$

となる。

したがって，これは頂点

$$ (3,0),\ (0,3),\ (-3,0),\ (0,-3) $$

をもつ菱形である。

**(2)**

方程式

$$ |y|=\frac12|x|+1 $$

より，

$$ y=\pm\left(\frac12|x|+1\right) $$

である。

さらに $x$ の符号で分けると，

$$ \begin{aligned} y&=\frac12x+1,\quad y=-\frac12x-1 \qquad &(x\geqq 0),\\ y&=-\frac12x+1,\quad y=\frac12x-1 \qquad &(x\leqq 0) \end{aligned} $$

となる。

よって，これは頂点

$$ (0,1),\ (0,-1) $$

をもつ，上下対称の2本の折れ線である。

**(3)**

$$ A=|x|+|y|-3,\qquad B=|y|-\frac12|x|-1 $$

とおくと，与えられた不等式は

$$ AB>0 $$

である。

したがって，

$$ (A>0 \text{ かつ } B>0)\quad \text{または}\quad (A<0 \text{ かつ } B<0) $$

を満たす領域を求めればよい。

ここで，

$$ A=0 $$

は （1） の菱形の境界，

$$ B=0 $$

は （2） の折れ線の境界である。

まず両図形の交点を求める。対称性より第1象限で考えれば十分であり，

$$ x+y=3,\qquad y=\frac12x+1 $$

を連立すると，

$$ x+\frac12x+1=3 $$

より

$$ \frac32x=2 $$

すなわち

$$ x=\frac43,\qquad y=\frac53 $$

を得る。

よって交点は

$$ \left(\frac43,\frac53\right),\ \left(-\frac43,\frac53\right),\ \left(\frac43,-\frac53\right),\ \left(-\frac43,-\frac53\right) $$

の4点である。

以上より，求める領域は

（i） 菱形の内部かつ折れ線の内部

$$ |x|+|y|<3,\qquad |y|<\frac12|x|+1 $$

（ii） 菱形の外部かつ折れ線の外部

$$ |x|+|y|>3,\qquad |y|>\frac12|x|+1 $$

の和集合である。

したがって，

$$ \left\{(x,y),\middle|,|x|+|y|<3,\ |y|<\frac12|x|+1\right\} \cup \left\{(x,y),\middle|,|x|+|y|>3,\ |y|>\frac12|x|+1\right\} $$

が答えとなる。

図形としては，中央の八角形部分と，その上側・下側の2つの無限に広がる部分である。なお，不等号が厳しいので，境界は含まない。

中央の八角形の頂点は

$$ (-3,0),\ \left(-\frac43,\frac53\right),\ (0,1),\ \left(\frac43,\frac53\right),\ (3,0),\ \left(\frac43,-\frac53\right),\ (0,-1),\ \left(-\frac43,-\frac53\right) $$

である。

解説

この問題の要点は，絶対値を含む式を「図形」として見ることである。

$|x|+|y|=3$ は座標軸に対して対称な菱形，$|y|=\dfrac12|x|+1$ は上下対称の折れ線になる。

また，積が正である条件は，2つの因子が同符号であることに言い換えるのが基本である。そのため （3） では，各境界の内外を比較し，「両方とも内側」または「両方とも外側」を取ればよい。

答え

**(1)**

$$ |x|+|y|=3 $$

は，頂点

$$ (3,0),\ (0,3),\ (-3,0),\ (0,-3) $$

をもつ菱形である。

**(2)**

$$ |y|=\frac12|x|+1 $$

は，頂点

$$ (0,1),\ (0,-1) $$

をもつ，上下対称の2本の折れ線である。

**(3)**

求める領域は

$$ \left\{(x,y),\middle|,|x|+|y|<3,\ |y|<\frac12|x|+1\right\} \cup \left\{(x,y),\middle|,|x|+|y|>3,\ |y|>\frac12|x|+1\right\} $$

である。すなわち，菱形と折れ線の両方の内側の部分，および両方の外側の部分であり，境界は含まない。