解説

方針・初手

動く点の座標を

$$ (X,Y)=(x+y,xy) $$

とおく。すると $X,Y$ は $x,y$ の和と積であるから，$x,y$ を2次方程式の解とみなすのが自然である。

すなわち，$x,y$ は

$$ t^2-Xt+Y=0 $$

の2解である。したがって，

• $x,y$ が実数である条件
• さらに $x^2+y^2<1$ を満たす条件

を $X,Y$ で表せばよい。

解法1

$x,y$ が実数であるためには，判別式が $0$ 以上でなければならない。よって

$$ X^2-4Y\geqq 0 $$

すなわち

$$ Y\leqq \frac{X^2}{4} $$

である。

次に，条件 $x^2+y^2<1$ を $X,Y$ で表す。

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=X^2-2Y $$

であるから，

$$ X^2-2Y<1 $$

すなわち

$$ Y>\frac{X^2-1}{2} $$

を得る。

以上より，必要条件として

$$ \frac{X^2-1}{2}<Y\leqq \frac{X^2}{4} $$

が得られる。

逆に，この不等式を満たす $(X,Y)$ をとる。

まず

$$ Y\leqq \frac{X^2}{4} $$

より

$$ X^2-4Y\geqq 0 $$

となるから，2次方程式

$$ t^2-Xt+Y=0 $$

は実数解 $x,y$ をもつ。

また

$$ Y>\frac{X^2-1}{2} $$

より

$$ X^2-2Y<1 $$

であるから，

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=X^2-2Y<1 $$

となり，確かに $(x,y)$ は半径 $1$ の円の内部にある。

したがって，求める範囲はちょうど

$$ \frac{X^2-1}{2}<Y\leqq \frac{X^2}{4} $$

で表される部分である。

なお，この2つの放物線が交わるのは

$$ \frac{X^2-1}{2}=\frac{X^2}{4} $$

すなわち

$$ X^2=2 $$

のときであるから，実際には

$$ -\sqrt{2}<X<\sqrt{2} $$

の範囲で，2つの放物線にはさまれた部分になる。

解説

この問題の要点は，$(x+y,xy)$ という形を見たら「和と積」と捉え，$x,y$ を2次方程式の解として扱うことである。

すると条件は

• 実数解をもつ条件 $X^2-4Y\geqq 0$
• 円の内部条件 $x^2+y^2<1$

の2本に分かれ，どちらも $X,Y$ で素直に表せる。

境界の意味も重要である。上側の放物線

$$ Y=\frac{X^2}{4} $$

は $x=y$ のときに実現できるので含まれる。一方，下側の放物線

$$ Y=\frac{X^2-1}{2} $$

は $x^2+y^2=1$ に対応し，問題では円の内部であって円周上は含まないので含まれない。

答え

点 $(X,Y)=(x+y,xy)$ の動く範囲は

$$ \frac{X^2-1}{2}<Y\leqq \frac{X^2}{4} \qquad \left(-\sqrt{2}<X<\sqrt{2}\right) $$

である。

したがって，図示すると，放物線

$$ Y=\frac{X^2}{4} $$

の下側と，放物線

$$ Y=\frac{X^2-1}{2} $$

の上側にはさまれた部分である。ただし上側の放物線は含み，下側の放物線は含まない。