解説

方針・初手

対数の底は $10$ であり，$\log_{10}t$ は単調増加であるから，まず不等式から対数を外す。さらに $|x|$ を $t$ とおくと式が整理しやすくなり，領域の形もそのまま読み取れる。

解法1

与えられた不等式は

$$ \log_{10}\left(2|x^3|+5x^2+5|x|+2+|y|\right)\le \log_{10}(|x|+1)+2\log_{10}(|x|+2) $$

である。

左辺・右辺の真数は常に正であるから，$\log_{10}$ の単調増加性より

$$ 2|x^3|+5x^2+5|x|+2+|y|\le (|x|+1)(|x|+2)^2 $$

と同値である。

ここで $t=|x| ,(\ge 0)$ とおくと，$|x^3|=t^3,\ x^2=t^2$ であるから，

$$ 2t^3+5t^2+5t+2+|y|\le (t+1)(t+2)^2 $$

となる。右辺を展開すると

$$ (t+1)(t+2)^2=(t+1)(t^2+4t+4)=t^3+5t^2+8t+4 $$

であるから，

$$ |y|\le t^3+5t^2+8t+4-(2t^3+5t^2+5t+2) $$

すなわち

$$ |y|\le -t^3+3t+2 $$

を得る。したがって

$$ |y|\le -|x|^3+3|x|+2 $$

である。

さらに，右辺が負では $|y|\ge 0$ を満たせないので，

$$ -|x|^3+3|x|+2\ge 0 $$

が必要である。再び $t=|x|$ とおくと

$$ -t^3+3t+2\ge 0 $$

であり，これは

$$ t^3-3t-2\le 0 $$

すなわち

$$ (t-2)(t+1)^2\le 0 $$

と因数分解できる。$t\ge 0$ より，

$$ 0\le t\le 2 $$

となる。よって

$$ |x|\le 2 $$

であり，領域 $D$ は

$$ D=\left\{(x,y)\mid |x|\le 2,\ |y|\le -|x|^3+3|x|+2\right\} $$

である。

したがって境界は

$$ y=\pm\left(-|x|^3+3|x|+2\right)\qquad (|x|\le 2) $$

で与えられる。これは $x$ 軸・$y$ 軸の両方に関して対称であり，主な点は

$$ (\pm 2,0),\quad (0,\pm 2),\quad (\pm 1,\pm 4) $$

である。よって （1） の図は，$x$ 軸・$y$ 軸対称な閉領域で，$x=\pm 2$ で $x$ 軸に接し，$x=\pm 1$ 付近で上下に最もふくらむ形である。

次に面積を求める。領域は $x$ 軸・$y$ 軸対称であるから，

$$ S=4\int_0^2 \left(-x^3+3x+2\right),dx $$

である。計算すると

$$ \begin{aligned} S &=4\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}+2x\right]_0^2 \\ &=4\left(-\frac{16}{4}+\frac{3\cdot 4}{2}+4\right) \\ &=4(-4+6+4) \\ &=24 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の本質は，対数不等式を真数同士の不等式に直し，$|x|$ を一つの文字としてまとめることである。すると領域は

$$ |y|\le f(|x|) $$

の形になり，左右対称・上下対称が一目で分かる。

また，面積計算では対称性を使って第1象限だけ積分すればよい。ここで毎回 $|x|$ を場合分けして積分するよりも，対称性を先に使う方が見通しがよい。

答え

**(1)**

領域 $D$ は

$$ D=\left\{(x,y)\mid |x|\le 2,\ |y|\le -|x|^3+3|x|+2\right\} $$

である。境界は

$$ y=\pm\left(-|x|^3+3|x|+2\right)\qquad (|x|\le 2) $$

であり，$x$ 軸・$y$ 軸対称な閉領域である。

**(2)**

領域 $D$ の面積は

$$ 24 $$

である。