解説

方針・初手

2つの放物線の交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とおくと，それらは連立方程式から得られる2次方程式の解になる。

したがって，条件「2交点の $x$ 座標の差が $1$」は，その2次方程式の判別式や解と係数の関係で処理するのが自然である。

また，（2） では，交点を結ぶ直線を $a$ を用いて表し，その直線群が通る点 $(x,y)$ に対して「ある $a$ が存在する条件」を調べればよい。

解法1

**(1)**

$C,D$ の交点の $x$ 座標は

$$ (x-a)^2+b=-x^2 $$

より

$$ x^2-ax+\frac{a^2+b}{2}=0 $$

の2解である。

この2解を $x_1,x_2$ とすると，

$$ x_1+x_2=a $$

であり，また

$$ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 $$

であるから，2次方程式の判別式を用いて

$$ (x_1-x_2)^2 =a^2-4\cdot \frac{a^2+b}{2} =-a^2-2b $$

を得る。

条件より $|x_1-x_2|=1$ なので，

$$ (x_1-x_2)^2=1 $$

である。したがって

$$ -a^2-2b=1 $$

すなわち

$$ b=-\frac{a^2+1}{2} $$

となる。

よって，頂点 $(a,b)$ の軌跡は

$$ b=-\frac{a^2+1}{2} $$

である。

座標を通常の $(x,y)$ で書けば，

$$ y=-\frac{x^2+1}{2} $$

という下に開く放物線である。

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**(2)**

（1） より

$$ b=-\frac{a^2+1}{2} $$

である。

さらに，交点の $x$ 座標 $x_1,x_2$ は

$$ x_1+x_2=a,\qquad |x_1-x_2|=1 $$

を満たすから，

$$ x_1=\frac{a+1}{2},\qquad x_2=\frac{a-1}{2} $$

とおける。

交点はともに放物線 $D:y=-x^2$ 上にあるので，それらを結ぶ直線は

$$ \left(\frac{a+1}{2},-\left(\frac{a+1}{2}\right)^2\right),\qquad \left(\frac{a-1}{2},-\left(\frac{a-1}{2}\right)^2\right) $$

を通る。

放物線 $y=-x^2$ 上の2点 $(u,-u^2),(v,-v^2)$ を結ぶ直線の方程式は

$$ y=-(u+v)x+uv $$

であるから，ここで

$$ u=\frac{a+1}{2},\qquad v=\frac{a-1}{2} $$

とすると，

$$ u+v=a,\qquad uv=\frac{a^2-1}{4} $$

より，求める直線は

$$ y=-ax+\frac{a^2-1}{4} $$

である。

ここで，ある点 $(x,y)$ がこの直線群のどれか1本上にあるための条件を調べる。

上式を $a$ について整理すると

$$ y=-ax+\frac{a^2-1}{4} =\frac{(a-2x)^2}{4}-x^2-\frac14 $$

となる。よって任意の実数 $a$ に対して

$$ y\ge -x^2-\frac14 $$

が成り立つ。

逆に，$y\ge -x^2-\dfrac14$ を満たす点 $(x,y)$ をとると，

$$ (a-2x)^2=4\left(y+x^2+\frac14\right) $$

となるような実数 $a$ が存在するので，その点は直線群のどれか1本上にある。

したがって，直線が通過する範囲は

$$ y\ge -x^2-\frac14 $$

である。

すなわち，放物線

$$ y=-x^2-\frac14 $$

の上側全体である。

解説

（1） の本質は，交点の $x$ 座標を2次方程式の2解とみなし，その差を判別式で表すことである。 「2点で交わる」「2交点の $x$ 座標の差が $1$」という条件は，図形的に考えるより代数的に処理した方が速い。

（2） では，交点がどちらも $D:y=-x^2$ 上にあることに注目すると，弦の方程式を $x$ 座標の和と積で簡潔に表せる。 その後，直線群を表す式を $a$ で整理して平方完成すると，通過範囲の境界が放物線として自然に現れる。境界はこの直線群の包絡線になっている。

答え

**(1)**

頂点 $(a,b)$ の軌跡は

$$ b=-\frac{a^2+1}{2} $$

である。通常の座標 $(x,y)$ で書けば

$$ y=-\frac{x^2+1}{2} $$

である。

**(2)**

2交点を結ぶ直線が通過する範囲は

$$ y\ge -x^2-\frac14 $$

である。すなわち，放物線

$$ y=-x^2-\frac14 $$

の上側全体である。