解説

方針・初手

まず

$$ x^2-6x-y^2+5\leqq 0 $$

を変形すると

$$ (x-3)^2-y^2\leqq 4 $$

となる。したがって，領域 $D$ は双曲線

$$ (x-3)^2-y^2=4 $$

の内側であり，さらに直線

$$ x+y=5 $$

の下側にある部分である。

また，

$$ x^2+y^2-2ax-2y+a^2=0 $$

は

$$ (x-a)^2+(y-1)^2=1 $$

と書けるので，中心 $(a,1)$，半径 $1$ の円である。 したがって，この円が $D$ と交わるための $a$ の範囲を調べればよい。

解法1

まず $D$ の形を整理する。

双曲線の頂点は $(1,0),(5,0)$ であり，直線 $x+y=5$ は点 $(5,0)$ を通る。 よって，$D$ は「双曲線の内側」を，$y\geqq 0$ では直線 $x+y=5$ で切った領域になる。

実際，$0\leqq y\leqq 2$ の範囲では

$$ x^2-6x-y^2+5\leqq 0 $$

より

$$ 3-\sqrt{y^2+4}\leqq x\leqq 3+\sqrt{y^2+4} $$

であり，さらに $x+y\leqq 5$ より

$$ x\leqq 5-y $$

である。 このとき $0\leqq y\leqq 2$ では

$$ 3+\sqrt{y^2+4}\geqq 5-y $$

が成り立つので，$D$ の横切りは

$$ 3-\sqrt{y^2+4}\leqq x\leqq 5-y $$

となる。

次に，円

$$ (x-a)^2+(y-1)^2=1 $$

上の点では

$$ (x-a)^2=1-(y-1)^2=2y-y^2 $$

だから，必ず

$$ 0\leqq y\leqq 2 $$

であり，

$$ x=a\pm \sqrt{2y-y^2} $$

と書ける。

したがって，ある $y\in[0,2]$ に対して，この円が $D$ と交わるための必要十分条件は

$$ 3-\sqrt{y^2+4}\leqq a+\sqrt{2y-y^2}, \qquad a-\sqrt{2y-y^2}\leqq 5-y $$

である。すなわち

$$ 3-\sqrt{y^2+4}-\sqrt{2y-y^2} \leqq a \leqq 5-y+\sqrt{2y-y^2} $$

となる。

よって，$a$ の最大値・最小値は

$$ f(y)=5-y+\sqrt{2y-y^2}, \qquad g(y)=3-\sqrt{y^2+4}-\sqrt{2y-y^2} $$

のそれぞれの最大値・最小値に一致する。

（1） 最大値

$t=1-y$ とおくと，$-1\leqq t\leqq 1$ で

$$ f(y)=4+t+\sqrt{1-t^2} $$

となる。

ここで

$$ \left(t+\sqrt{1-t^2}\right)^2 =1+2t\sqrt{1-t^2}\leqq 2 $$

より

$$ t+\sqrt{1-t^2}\leqq \sqrt{2} $$

である。したがって

$$ f(y)\leqq 4+\sqrt{2}. $$

等号は

$$ t=\sqrt{1-t^2}=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

すなわち

$$ y=1-\frac{1}{\sqrt{2}} $$

のとき成り立つ。よって

$$ a_{\max}=4+\sqrt{2}. $$

（2） 最小値

$g(y)$ の最小値は

$$ h(y)=\sqrt{y^2+4}+\sqrt{2y-y^2} $$

の最大値を求めればよい。すなわち

$$ g(y)=3-h(y) $$

である。

まず

$$ h'(y)=\frac{y}{\sqrt{y^2+4}}+\frac{1-y}{\sqrt{2y-y^2}} $$

である。

さらに

$$ h''(y)=\frac{4}{(y^2+4)^{3/2}}-\frac{1}{{y(2-y)}^{3/2}} $$

であるが，$0<y<2$ では $y(2-y)\leqq 1$ より

$$ \frac{4}{(y^2+4)^{3/2}}\leqq \frac{4}{4^{3/2}}=\frac12, \qquad \frac{1}{{y(2-y)}^{3/2}}\geqq 1 $$

だから

$$ h''(y)<0 $$

である。よって $h(y)$ は $[0,2]$ で上に凸ではなく，正確には**下に凸でなく上に凹**，すなわち極大点はただ1つである。

実際，

$$ h'(1)=\frac{1}{\sqrt{5}}>0, \qquad \lim_{y\to 2-0}h'(y)=-\infty $$

より，$h'(y)=0$ を満たす点は $(1,2)$ にただ1つ存在する。これを $\alpha$ とする。

$\alpha>1$ なので

$$ \begin{aligned} \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+4}} &= \frac{\alpha-1}{\sqrt{2\alpha-\alpha^2}} \end{aligned} $$

が成り立ち，両辺を2乗すると

$$ 2\alpha^4-4\alpha^3+5\alpha^2-8\alpha+4=0 $$

を得る。この $(1,2)$ にある唯一の解は

$$ \alpha \approx 1.5172557 $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} a_{\min} &= 3-\sqrt{\alpha^2+4}-\sqrt{2\alpha-\alpha^2} \approx -0.3662223 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は，第2の曲線を円

$$ (x-a)^2+(y-1)^2=1 $$

と見抜くことである。中心は常に直線 $y=1$ 上を動くので，円が取りうる $y$ 座標は $0\leqq y\leqq 2$ に限られる。そこで $y$ を固定して横切りで考えると，領域 $D$ の $x$ の範囲と円の $x$ の範囲を比較するだけで，$a$ の条件が1変数の不等式に落ちる。

最大値は直線境界 $x+y=5$ 側で決まり，これはきれいに処理できる。 最小値は双曲線側で決まり，1変数関数の極大問題になる。ここでは $h''(y)<0$ を示して極大点がただ1つであることを押さえるのが自然である。

答え

領域 $D$ は，双曲線

$$ (x-3)^2-y^2=4 $$

の内側で，さらに直線

$$ x+y=5 $$

の下側にある部分である。

また，曲線

$$ x^2+y^2-2ax-2y+a^2=0 $$

が $D$ の点を通るような $a$ の範囲は

$$ a_{\min}\leqq a\leqq a_{\max} $$

であり，

$$ a_{\max}=4+\sqrt{2}, $$

$$ \begin{aligned} a_{\min} &= 3-\sqrt{\alpha^2+4}-\sqrt{2\alpha-\alpha^2} \approx -0.3662223 \end{aligned} $$

ただし $\alpha$ は

$$ 2\alpha^4-4\alpha^3+5\alpha^2-8\alpha+4=0 $$

の $(1,2)$ にある唯一の解である。