解説

方針・初手

線分 $AB$ は $y=1,\ 0\le x\le 1$ 上にあるので，この線分上の点 $P(x,1)$ が円の外部にある条件を $x$ の不等式で表す。

すなわち，$0\le x\le 1$ のすべてに対して，$P(x,1)$ が円の外部にある条件を調べればよい。

解法1

線分 $AB$ 上の点を

$$ P(x,1)\qquad (0\le x\le 1) $$

とおく。

点 $P(x,1)$ が円

$$ x^2+y^2-2ax-2by-1=0 $$

の外部にあるための条件は，これを左辺に代入した値が正であることである。よって

$$ x^2+1-2ax-2b-1>0 $$

すなわち

$$ x^2-2ax-2b>0 $$

が $0\le x\le 1$ のすべてで成り立てばよい。

ここで

$$ f(x)=x^2-2ax-2b $$

とおく。$f(x)$ は上に凸の2次関数であり，区間 $[0,1]$ における最小値が正であればよい。

最小値を場合分けして調べる。

**(i)**

$a\le 0$ のとき

頂点 $x=a$ は区間 $[0,1]$ の左にあるから，$[0,1]$ では $f(x)$ は増加する。したがって最小値は $x=0$ でとる。

$$ f(0)=-2b $$

これが正だから

$$ b<0 $$

となる。

**(ii)**

$0\le a\le 1$ のとき

頂点 $x=a$ が区間 $[0,1]$ 内にあるので，最小値は $x=a$ でとる。

$$ f(a)=a^2-2a^2-2b=-a^2-2b $$

これが正だから

$$ b<-\frac{a^2}{2} $$

となる。

**(iii)**

$a\ge 1$ のとき

頂点 $x=a$ は区間 $[0,1]$ の右にあるから，$[0,1]$ では $f(x)$ は減少する。したがって最小値は $x=1$ でとる。

$$ f(1)=1-2a-2b $$

これが正だから

$$ b<\frac12-a $$

となる。

以上より，求める領域は

$$ \begin{cases} b<0 & (a\le 0),\\ b<-\dfrac{a^2}{2} & (0\le a\le 1),\\ b<\dfrac12-a & (a\ge 1) \end{cases} $$

で表される。

解説

線分全体が円の外部にあるので，端点 $A,\ B$ だけを調べても不十分である。線分上の一般の点 $P(x,1)$ を置き，その点が外部にある条件を $x$ の不等式に直すのが本筋である。

すると，区間 $[0,1]$ で2次関数 $f(x)$ が常に正である条件に帰着できる。あとは頂点の位置が区間の左・中・右のどこにあるかで最小値を調べればよい。

答え

求める領域は，$ab$ 平面において

$$ \begin{cases} b=0 & (a\le 0),\\ b=-\dfrac{a^2}{2} & (0\le a\le 1),\\ b=\dfrac12-a & (a\ge 1) \end{cases} $$

を境界とし，その下側の部分である。ただし境界は含まない。

すなわち条件は

$$ \begin{cases} b<0 & (a\le 0),\\ b<-\dfrac{a^2}{2} & (0\le a\le 1),\\ b<\dfrac12-a & (a\ge 1) \end{cases} $$

である。