解説

方針・初手

放物線 $C:y=x^2+ax+b$ と $y=-x^2$ の共有点の $x$ 座標は

$$ x^2+ax+b=-x^2 $$

すなわち

$$ 2x^2+ax+b=0 $$

の解である。

したがって，条件 「一方の解が $-1<x<0$，他方の解が $0<x<1$」 を，二次式 $2x^2+ax+b$ の符号条件に言い換えればよい。

また，（2） は （1） で得た $(a,b)$ の範囲のもとで，固定した $x$ に対して

$$ y=x^2+ax+b $$

がどの範囲を動くかを調べればよい。

解法1

$f(x)=2x^2+ax+b$ とおく。

この $f(x)$ は上に開く二次関数であり，条件より $f(x)=0$ は $(-1,0)$ に 1 つ，$(0,1)$ に 1 つ解をもつ。

これは

$$ f(-1)>0,\quad f(0)<0,\quad f(1)>0 $$

と同値である。

実際，この 3 条件が成り立てば，中間値の定理により $(-1,0)$ に 1 つ，$(0,1)$ に 1 つ解をもち， 逆に条件を満たす 2 解をもてば上の符号条件は必ず成り立つ。

ここで

$$ f(-1)=2-a+b,\quad f(0)=b,\quad f(1)=2+a+b $$

であるから，

$$ 2-a+b>0,\quad b<0,\quad 2+a+b>0 $$

すなわち

$$ b>a-2,\quad b<0,\quad b>-a-2 $$

を得る。

よって

$$ b>|a|-2,\quad b<0 $$

であり，求める $(a,b)$ の範囲は

$$ |a|-2<b<0 $$

である。

したがって （1） の範囲は，$ab$ 平面において 直線 $b=0$，$b=a-2$，$b=-a-2$ に囲まれた三角形の内部である。 頂点は $(-2,0),(0,-2),(2,0)$ であり，境界は含まない。

次に （2） を考える。

（1） で得た $(a,b)$ の範囲を

$$ S={(a,b)\mid |a|-2<b<0} $$

とする。これは頂点

$$ A(-2,0),\quad B(2,0),\quad C(0,-2) $$

をもつ開三角形である。

いま $x=t$ を固定すると，そのとき放物線 $C$ 上の点の $y$ 座標は

$$ y=t^2+at+b $$

である。したがって $y-t^2=at+b$ の取りうる値を調べればよい。

ここで $(a,b)$ 上の一次関数

$$ L_t(a,b)=ta+b $$

を考えると，$S$ は開三角形なので，$L_t$ の値域は 3 頂点での値の最小値と最大値の間の開区間になる。

各頂点での値は

$$ L_t(A)=-2t,\quad L_t(B)=2t,\quad L_t(C)=-2 $$

であるから，

$$ \min(-2t,,2t,,-2)<y-t^2<\max(-2t,,2t,,-2) $$

となる。

最大値は常に $2|t|$ である。

最小値は

**(i)**

$|t|\le 1$ のとき

$$ \min(-2t,,2t,,-2)=-2 $$

であり，

$$ t^2-2<y<t^2+2|t| $$

となる。

**(ii)**

$|t|>1$ のとき

$$ \min(-2t,,2t,,-2)=-2|t| $$

であり，

$$ t^2-2|t|<y<t^2+2|t| $$

となる。

よって $t$ を $x$ に戻せば，放物線 $C$ の通りうる範囲は

$$ \begin{cases} x^2-2<y<x^2+2|x| & (|x|\le 1),\\ x^2-2|x|<y<x^2+2|x| & (|x|>1) \end{cases} $$

である。

境界を図示しやすい形に直すと，上側境界は

$$ y=x^2+2|x| $$

すなわち

$$ y= \begin{cases} (x-1)^2-1 & (x\le 0),\\ (x+1)^2-1 & (x\ge 0) \end{cases} $$

であり，下側境界は

$$ y= \begin{cases} (x+1)^2-1 & (x\le -1),\\ x^2-2 & (-1\le x\le 1),\\ (x-1)^2-1 & (x\ge 1) \end{cases} $$

である。いずれの境界も含まない。

解説

この問題の本質は，共有点の条件を「解の存在条件」ではなく「二次式の符号条件」に落とすことである。

$2x^2+ax+b$ は上に開くので，

$$ f(-1)>0,\quad f(0)<0,\quad f(1)>0 $$

と見るのが最短である。ここで判別式を直接いじる必要はない。

また （2） では，固定した $x$ に対して $y=x^2+ax+b$ を $(a,b)$ の一次関数として見るのが要点である。 $(a,b)$ の動く範囲が三角形なので，$y-x^2$ の最大・最小は三角形の頂点で決まる。 この見方ができると，包絡線を無理に求めなくても範囲が整理できる。

答え

**(1)**

点 $(a,b)$ のとりうる範囲は

$$ |a|-2<b<0 $$

である。

したがって，$ab$ 平面では

頂点 $(-2,0),(0,-2),(2,0)$ をもつ三角形の内部であり，境界は含まない。

**(2)**

放物線 $C$ の通りうる範囲は

$$ \begin{cases} x^2-2<y<x^2+2|x| & (|x|\le 1),\\ x^2-2|x|<y<x^2+2|x| & (|x|>1) \end{cases} $$

である。

下側境界は

$$ y= \begin{cases} (x+1)^2-1 & (x\le -1),\\ x^2-2 & (-1\le x\le 1),\\ (x-1)^2-1 & (x\ge 1) \end{cases} $$

上側境界は

$$ y=x^2+2|x| $$

であり，いずれの境界も含まない。