解説

方針・初手

点 $(x,y)$ を固定し，その点を通る曲線 $C_t$ の本数を調べる。

$C_t$ は

$$ y=3tx^2-t^3 $$

であるから，$(x,y)$ を通るための条件は

$$ t^3-3x^2t+y=0 $$

である。したがって，問題はこの $t$ の三次方程式がもつ実数解の個数を調べることに帰着する。

解法1

固定した $(x,y)$ に対し

$$ F(t)=t^3-3x^2t+y $$

とおく。

このとき，$(x,y)$ を通る曲線 $C_t$ の本数は，方程式

$$ F(t)=0 $$

の異なる実数解の個数に等しい。

まず微分すると

$$ F'(t)=3(t^2-x^2) $$

である。

ここで $a=|x|$ とおくと，極値をとるのは $t=\pm a$ であり，

$$ F(-a)=(-a)^3-3x^2(-a)+y = -a^3+3a^3+y = y+2a^3 $$

$$ F(a)=a^3-3a^3+y = y-2a^3 $$

となる。

三次関数 $F(t)$ は $t\to-\infty$ で $-\infty$，$t\to\infty$ で $\infty$ に向かうから，実数解の個数は極大値 $F(-a)$ と極小値 $F(a)$ の符号で判定できる。

（1） ちょうど $3$ 回通過する点

異なる実数解を $3$ 個もつための必要十分条件は，極大値が正で極小値が負であることである。すなわち

$$ F(-a)>0,\qquad F(a)<0 $$

であるから，

$$ y+2a^3>0,\qquad y-2a^3<0 $$

より

$$ -2a^3<y<2a^3 $$

を得る。

$a=|x|$ であるから，

$$ -2|x|^3<y<2|x|^3 $$

である。

よって，求める領域は

$$ -2|x|^3<y<2|x|^3 $$

で表される，原点を尖点とする 2 曲線

$$ y=2|x|^3,\qquad y=-2|x|^3 $$

にはさまれた開領域である。境界線は含まれない。

（2） ちょうど $1$ 回通過する点

異なる実数解がちょうど $1$ 個であるのは，極大値と極小値がともに正か，ともに負の場合である。したがって

$$ F(-a)<0 \quad \text{または} \quad F(a)>0 $$

より

$$ y<-2a^3 \quad \text{または} \quad y>2a^3 $$

すなわち

$$ |y|>2|x|^3 $$

である。

ただし原点 $(0,0)$ では

$$ F(t)=t^3 $$

となり，実数解は $t=0$ のみである。したがって原点は「ちょうど $1$ 回通過する点」に含まれる。

一方，境界

$$ |y|=2|x|^3 $$

上で原点以外の点では重解と単解をもつので，異なる実数解は $2$ 個である。したがって境界線上の原点以外の点は含まれない。

よって，求める領域は

$$ |y|>2|x|^3 $$

で表される領域と，原点 $(0,0)$ のみである。

解説

本問の本質は，媒介変数 $t$ をもつ曲線族を「固定した点 $(x,y)$ を通る $t$ の個数」の問題に直すことである。

すると三次方程式

$$ t^3-3x^2t+y=0 $$

の実数解の個数の判定になる。三次方程式の実数解の個数は，グラフの極大値・極小値の符号を見るのが最も自然である。

境界

$$ |y|=2|x|^3 $$

は，実数解が重解をもつ場合に対応する。ここでは原点だけが三重解となって $1$ 個，原点以外では重解と単解で $2$ 個になる点に注意が必要である。

答え

**(1)**

曲線 $C_t$ がちょうど $3$ 回通過する点全体は

$$ -2|x|^3<y<2|x|^3 $$

である。

すなわち，境界

$$ y=\pm 2|x|^3 $$

にはさまれた開領域であり，境界線は含まれない。

**(2)**

曲線 $C_t$ がちょうど $1$ 回通過する点全体は

$$ |y|>2|x|^3 $$

で表される領域と，原点 $(0,0)$ である。

境界線

$$ y=\pm 2|x|^3 $$

上の点は，原点を除いて含まれない。