解説

方針・初手

$s=x+y,\ p=xy$ とおくと，条件

$$ (x-3)^2+(y-3)^2=8 $$

は

$$ x^2+y^2-6(x+y)+10=0 $$

すなわち

$$ (x+y)^2-2xy-6(x+y)+10=0 $$

より

$$ s^2-2p-6s+10=0 $$

と書ける。したがって $p$ は $s$ の式で表せる。

また，$x+y$ の範囲は，円

$$ (x-3)^2+(y-3)^2=8 $$

が中心 $(3,3)$，半径 $2\sqrt2$ の円であることを用いると求めやすい。

解法1

**(1)**

まず $s=x+y,\ p=xy$ とおくと，上で得た関係式より

$$ p=\frac12 s^2-3s+5 $$

である。

次に $s=x+y$ の範囲を求める。

$$ x+y-6=(x-3)+(y-3) $$

であるから，

$$ (x+y-6)^2=((x-3)+(y-3))^2 \le 2{(x-3)^2+(y-3)^2}=16 $$

となる。よって

$$ -4\le x+y-6\le 4 $$

すなわち

$$ 2\le x+y\le 10 $$

である。

したがって $s$ の範囲は

$$ 2\le s\le 10 $$

であり，

$$ p=\frac12 s^2-3s+5 $$

は上に開く2次関数なので，最小値は頂点 $s=3$ のときにとる。

$$ p_{\min}=\frac12\cdot 3^2-3\cdot 3+5=\frac12 $$

また最大値は端点で調べればよく，

$$ p(2)=\frac12\cdot 4-6+5=1,\qquad p(10)=\frac12\cdot 100-30+5=25 $$

より

$$ p_{\max}=25 $$

である。

以上より，

$$ 2\le x+y\le 10,\qquad \frac12\le xy\le 25 $$

となる。

**(2)**

$\alpha,\beta$ は方程式

$$ x^2-kx+\frac52=0 $$

の2解であるから，解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=k,\qquad \alpha\beta=\frac52 $$

である。

ここで （1） と同様に $s=\alpha+\beta,\ p=\alpha\beta$ とおくと，

$$ p=\frac12 s^2-3s+5 $$

であり，さらに $p=\dfrac52$ だから

$$ \frac52=\frac12 s^2-3s+5 $$

すなわち

$$ s^2-6s+5=0 $$

となる。よって

$$ s=1,\ 5 $$

である。

しかし （1） より $s=\alpha+\beta$ の範囲は

$$ 2\le s\le 10 $$

だから，可能なのは

$$ s=5 $$

のみである。したがって

$$ k=\alpha+\beta=5 $$

である。

よって $\alpha,\beta$ は

$$ x^2-5x+\frac52=0 $$

の2解であり，

$$ x=\frac{5\pm\sqrt{25-10}}{2} =\frac{5\pm\sqrt{15}}{2} $$

となる。条件 $\alpha<\beta$ より

$$ \alpha=\frac{5-\sqrt{15}}{2},\qquad \beta=\frac{5+\sqrt{15}}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は，円の条件をそのまま扱うのではなく，$x+y,\ xy$ を

$$ s=x+y,\qquad p=xy $$

で置き換えることである。すると円の条件が

$$ s^2-2p-6s+10=0 $$

という1本の式にまとまり，$p$ を $s$ の2次関数として扱える。

（1） ではまず $s$ の範囲を決め，そのあと $p$ の範囲を2次関数として読むのが自然である。

（2） では $\alpha\beta=\dfrac52$ が与えられているので，その値を先ほどの関係式に代入すれば $\alpha+\beta$ がすぐ定まる。最後は解と係数の関係と解の公式で処理できる。

答え

**(1)**

$$ 2\le x+y\le 10 $$

$$ \frac12\le xy\le 25 $$

**(2)**

$$ k=5 $$

$$ \alpha=\frac{5-\sqrt{15}}{2},\qquad \beta=\frac{5+\sqrt{15}}{2} $$