解説

方針・初手

絶対値があるので、座標平面を4つの象限に分けて考えるのが自然である。各象限では $|x|,|y|$ が単純な式に直るので、領域は円として表せる。面積は対称性を用いて第1象限の部分だけ求め、最後に4倍する。

解法1

（1） 領域の図示

不等式

$$ x^2+y^2\le |x|+|y| $$

を各象限で調べる。

**第1象限** $x\ge 0,\ y\ge 0$ では $|x|=x,\ |y|=y$ だから、

$$ x^2+y^2\le x+y $$

すなわち

$$ x^2-x+y^2-y\le 0 $$

である。平方完成すると

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2\le \frac12 $$

となる。したがって、第1象限では中心 $\left(\frac12,\frac12\right)$、半径 $\frac{1}{\sqrt2}$ の円の内部である。

同様にして、

**第2象限** $x\le 0,\ y\ge 0$ では

$$ \left(x+\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2\le \frac12 $$

**第3象限** $x\le 0,\ y\le 0$ では

$$ \left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2\le \frac12 $$

**第4象限** $x\ge 0,\ y\le 0$ では

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2\le \frac12 $$

となる。

よって求める領域は、4つの象限それぞれにおいて、対応する円の内部を取ったものの和集合である。すなわち、中心

$$ \left(\frac12,\frac12\right),\ \left(-\frac12,\frac12\right),\ \left(-\frac12,-\frac12\right),\ \left(\frac12,-\frac12\right) $$

半径 $\frac{1}{\sqrt2}$ の4つの円を、それぞれ対応する象限で切り取った図形である。

なお、座標軸との交点は

$$ (\pm 1,0),\ (0,\pm 1),\ (0,0) $$

であり、全体として4つの部分が原点まわりに対称な図形になる。

（2） 面積

対称性より、全体の面積は第1象限部分の面積の4倍である。

第1象限での領域は

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2\le \frac12,\quad x\ge 0,\ y\ge 0 $$

である。これは、中心 $\left(\frac12,\frac12\right)$、半径

$$ r=\frac{1}{\sqrt2} $$

の円から、直線 $x=0$ の左側にはみ出す部分と、直線 $y=0$ の下側にはみ出す部分を除いたものである。

この円の面積は

$$ \pi r^2=\frac{\pi}{2} $$

である。

次に、直線 $x=0$ の左側にはみ出す円弧部分の面積を求める。円の中心から直線 $x=0$ までの距離は $\frac12$ であるから、対応する中心角 $\theta$ は

$$ \cos\frac{\theta}{2} =\frac{\frac12}{\frac1{\sqrt2}} =\frac{\sqrt2}{2} $$

より

$$ \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{4},\quad \theta=\frac{\pi}{2} $$

である。したがって、この円弧部分の面積は

$$ \text{扇形の面積}-\text{三角形の面積} =\frac12 r^2\theta-\frac12 r^2\sin\theta $$

だから、

$$ \frac12\cdot \frac12\cdot \frac{\pi}{2}-\frac12\cdot \frac12\cdot 1 =\frac{\pi}{8}-\frac14 $$

となる。

$y=0$ の下側にはみ出す部分も同じ面積であり、これら2つは原点以外では重ならない。よって第1象限部分の面積は

$$ \frac{\pi}{2}-2\left(\frac{\pi}{8}-\frac14\right) =\frac{\pi}{4}+\frac12 $$

である。

したがって、全体の面積は

$$ 4\left(\frac{\pi}{4}+\frac12\right)=\pi+2 $$

となる。

解説

絶対値を含む式では、象限ごとに場合分けして符号を確定させるのが基本である。この問題では各象限で平方完成すると円が現れるため、領域の形がすぐに見える。

面積計算では、いきなり積分するよりも、対称性を使って第1象限だけを見る方が簡潔である。さらに、その部分は「1つの円から2つの円弧部分を除く」と考えると、幾何的に処理できる。

答え

**(1)**

求める領域は、各象限でそれぞれ

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2\le \frac12 \quad (x\ge0,\ y\ge0) $$

$$ \left(x+\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2\le \frac12 \quad (x\le0,\ y\ge0) $$

$$ \left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2\le \frac12 \quad (x\le0,\ y\le0) $$

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2\le \frac12 \quad (x\ge0,\ y\le0) $$

で表される4つの部分の和集合である。

**(2)**

面積は

$$ \pi+2 $$

である。