解説

方針・初手

$x$ を固定し，式を $a$ の式として見るのが最も自然である。

与式は

$$ y=(x-a)^2-2a^2+1=-(a+x)^2+2x^2+1 $$

と変形できる。したがって，各 $x$ に対して $(a+x)^2$ の取りうる範囲を調べれば，その $x$ での $y$ の取りうる範囲が決まる。

解法1

**(1)**

$a$ はすべての実数を動くから，$a+x$ もすべての実数を動く。よって $(a+x)^2$ は $0$ 以上のすべての実数をとる。

したがって

$$ y=-(a+x)^2+2x^2+1 $$

より，各 $x$ に対して

$$ y\leqq 2x^2+1 $$

である。

逆に，$y\leqq 2x^2+1$ なら

$$ (a+x)^2=2x^2+1-y $$

とでき，右辺は $0$ 以上であるから，これを満たす実数 $a$ が存在する。よってこの範囲の点はすべて，ある放物線 $C$ 上に現れる。

以上より，$C$ が通過する領域は

$$ y\leqq 2x^2+1 $$

である。境界は放物線

$$ y=2x^2+1 $$

であり，これは $a=-x$ のときに実現する。

**(2)**

今度は $-1\leqq a\leqq 1$ である。

$x$ を固定すると

$$ y=-(a+x)^2+2x^2+1 $$

であるから，$y$ の最大・最小は $(a+x)^2$ の最小・最大で決まる。

まず最小値を求める。

$a\in[-1,1]$ のとき，$a+x$ は区間 $[x-1,x+1]$ を動く。したがって $|a+x|$ の最大値は両端で生じて

$$ \max |a+x|=|x|+1 $$

である。よって $(a+x)^2$ の最大値は $(|x|+1)^2$ であり，$y$ の最小値は

$$ 2x^2+1-(|x|+1)^2=x^2-2|x| $$

となる。

次に最大値を求める。

$|a+x|$ を最小にしたい。

**(i)**

$|x|\leqq 1$ のとき

このとき $-x\in[-1,1]$ であるから，$a=-x$ とできる。よって $a+x=0$ となり，

$$ y_{\max}=2x^2+1 $$

である。

**(ii)**

$|x|>1$ のとき

このとき $a=-x$ は許されないので，$[-1,1]$ の中で $-x$ に最も近い端点をとればよい。したがって

$$ \min |a+x|=|x|-1 $$

であり，

$$ y_{\max}=2x^2+1-(|x|-1)^2=x^2+2|x| $$

となる。

以上より，$C$ が通過する領域は

$$ x^2-2|x|\leqq y\leqq \begin{cases} 2x^2+1 & (|x|\leqq 1),\\ x^2+2|x| & (|x|\geqq 1) \end{cases} $$

である。

境界を具体的に書けば，下側境界は

$$ y=x^2-2|x|= \begin{cases} x^2+2x & (x\leqq 0),\\ x^2-2x & (x\geqq 0) \end{cases} $$

であり，上側境界は

$$ y= \begin{cases} x^2-2x & (x\leqq -1),\\ 2x^2+1 & (-1\leqq x\leqq 1),\\ x^2+2x & (x\geqq 1) \end{cases} $$

である。図形は $y$ 軸対称になる。

解説

この問題の本質は，放物線の族をそのまま追いかけるのではなく，$x$ を固定して「その $x$ で $y$ がどこまで動けるか」を調べる点にある。

与式を

$$ y=-(a+x)^2+2x^2+1 $$

と見ると，$a$ の動く範囲がそのまま $(a+x)^2$ の範囲に翻訳されるので，通過領域は各 $x$ における $y$ の上下の境界として簡潔に求まる。

答え

**(1)**

$$ y\leqq 2x^2+1 $$

すなわち，放物線 $y=2x^2+1$ の下側全体である。

**(2)**

$$ x^2-2|x|\leqq y\leqq \begin{cases} 2x^2+1 & (|x|\leqq 1),\\ x^2+2|x| & (|x|\geqq 1) \end{cases} $$

である。境界は

$$ y=x^2-2|x| $$

および

$$ y= \begin{cases} x^2-2x & (x\leqq -1),\\ 2x^2+1 & (-1\leqq x\leqq 1),\\ x^2+2x & (x\geqq 1) \end{cases} $$

で与えられる。