解説

方針・初手

線分 $PQ$ を、媒介変数 $t$ を用いて式で表す。

点 $P(0,t)$、$Q\left(\dfrac1t,0\right)$ を結ぶ直線は、切片の形から

$$ \frac{x}{1/t}+\frac{y}{t}=1 $$

すなわち

$$ y=t-t^2x $$

である。ただし線分であるから、$x$ の範囲は

$$ 0\le x\le \frac1t $$

である。

したがって、$1\le t\le 2$ のときの線分 $PQ$ が通過する部分は、 各 $x$ に対して

$$ y=t-t^2x $$

がどの範囲を動くかを調べればよい。

解法1

固定した $x\ge 0$ に対し、

$$ f(t)=t-t^2x $$

とおく。

線分上に点があるためには $0\le x\le \dfrac1t$、すなわち

$$ t\le \frac1x $$

でなければならない。よって、$x$ の値によって $t$ の動ける範囲が変わる。

（i） $0\le x\le \dfrac12$ のとき

このとき $\dfrac1x\ge 2$ なので、$t$ はそのまま

$$ 1\le t\le 2 $$

を動く。

ここで

$$ f'(t)=1-2xt $$

であるから、$f(t)$ の増減を調べる。

（a） $0\le x\le \dfrac14$ のとき

このとき $1-2xt\ge 1-4x\ge 0$ なので、$f(t)$ は $1\le t\le 2$ で単調増加する。

したがって

$$ f(1)\le y\le f(2) $$

すなわち

$$ 1-x\le y\le 2-4x $$

である。

（b） $\dfrac14\le x\le \dfrac12$ のとき

$f'(t)=0$ となるのは

$$ t=\frac1{2x} $$

であり、これは $[1,2]$ に入る。したがってこのとき最大値は

$$ f!\left(\frac1{2x}\right)=\frac1{4x} $$

である。

一方、最小値は端点 $t=1,2$ のうち小さい方であり、

$$ f(1)=1-x,\qquad f(2)=2-4x $$

を比べると

$$ 1-x=2-4x \iff x=\frac13 $$

より、

• $\dfrac14\le x\le \dfrac13$ では $1-x\le 2-4x$
• $\dfrac13\le x\le \dfrac12$ では $2-4x\le 1-x$

となる。

よって

$$ \frac14\le x\le \frac13 \quad\Rightarrow\quad 1-x\le y\le \frac1{4x}, $$

$$ \frac13\le x\le \frac12 \quad\Rightarrow\quad 2-4x\le y\le \frac1{4x}. $$

（ii） $\dfrac12\le x\le 1$ のとき

このとき $\dfrac1x\le 2$ なので、$t$ は

$$ 1\le t\le \frac1x $$

を動く。

また $\dfrac1{2x}\le 1$ であるから、この区間では $f(t)$ は単調減少する。したがって

$$ f!\left(\frac1x\right)\le y\le f(1) $$

であり、

$$ f!\left(\frac1x\right)=\frac1x-x\left(\frac1x\right)^2=0,\qquad f(1)=1-x $$

より

$$ 0\le y\le 1-x $$

である。

以上のまとめ

したがって、線分 $PQ$ が通過する部分は次で表される。

$$ \begin{cases} 1-x\le y\le 2-4x & \left(0\le x\le \dfrac14\right),\\[1mm] 1-x\le y\le \dfrac1{4x} & \left(\dfrac14\le x\le \dfrac13\right),\\[1mm] 2-4x\le y\le \dfrac1{4x} & \left(\dfrac13\le x\le \dfrac12\right),\\[1mm] 0\le y\le 1-x & \left(\dfrac12\le x\le 1\right). \end{cases} $$

境界は順に、

• $x=0$ 上の線分 $(0,1)$ から $(0,2)$
• 直線 $y=2-4x$ の部分 $0\le x\le \dfrac14$
• 曲線 $y=\dfrac1{4x}$ の部分 $\dfrac14\le x\le \dfrac12$
• 直線 $y=1-x$ の部分 $\dfrac12\le x\le 1$
• $x$ 軸上の線分 $(\dfrac12,0)$ から $(1,0)$
• 直線 $y=2-4x$ の部分 $\dfrac13\le x\le \dfrac12$
• 直線 $y=1-x$ の部分 $0\le x\le \dfrac13$

で与えられる領域である。

解説

この問題の本質は、線分族を

$$ y=t-t^2x $$

という $t$ を含む式で表し、各 $x$ に対して $y$ の取り得る範囲を調べることである。

特に上側の境界として現れる

$$ y=\frac1{4x} $$

は、$f(t)=t-t^2x$ の最大値から出てくる。これは直線群の包絡線にあたる。

また、下側の境界は常に同じ式ではなく、$x=\dfrac13,\dfrac12$ で切り替わる。ここを見落とすと図示を誤りやすい。

答え

線分 $PQ$ が通過する部分は第1象限内の次の領域である。

$$ \begin{cases} 1-x\le y\le 2-4x & \left(0\le x\le \dfrac14\right),\\[1mm] 1-x\le y\le \dfrac1{4x} & \left(\dfrac14\le x\le \dfrac13\right),\\[1mm] 2-4x\le y\le \dfrac1{4x} & \left(\dfrac13\le x\le \dfrac12\right),\\[1mm] 0\le y\le 1-x & \left(\dfrac12\le x\le 1\right). \end{cases} $$

したがって、境界は

$$ x=0,\quad y=1-x,\quad y=2-4x,\quad y=\frac1{4x},\quad y=0 $$

の該当部分からなる。