解説

方針・初手

点 $P,Q$ の座標をおき，面積を $2$ 等分する条件をまず式に直す。

すると，$PQ$ は「ある 1 変数で表される線分の族」になる。その族の両端の線分と包絡線を調べれば，線分 $PQ$ が通る領域の境界が決まる。

解法1

$P=(a,0),\ Q=(0,b)$ とおく。ただし $0<a\le1,\ 0<b\le1$ である。

$\triangle OAB$ の面積は

$$ \frac12 $$

である。線分 $PQ$ がこれを $2$ 等分するので，原点側の三角形 $\triangle OPQ$ の面積は

$$ \frac14 $$

である。よって

$$ \frac12ab=\frac14 $$

より，

$$ ab=\frac12 $$

を得る。

したがって

$$ b=\frac{1}{2a} $$

であり，$b\le1$ より

$$ \frac12\le a\le1 $$

となる。

このとき，線分 $PQ$ を含む直線の方程式は

$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $$

すなわち

$$ \frac{x}{a}+2ay=1 $$

である。

---

この線分族を

$$ F(x,y,a)=\frac{x}{a}+2ay-1=0 $$

とおく。

まず包絡線を求める。包絡線は

$$ F(x,y,a)=0,\qquad \frac{\partial F}{\partial a}=0 $$

を同時に満たすから，

$$ \frac{\partial F}{\partial a}=-\frac{x}{a^2}+2y=0 $$

より

$$ 2y=\frac{x}{a^2} $$

である。これを

$$ \frac{x}{a}+2ay=1 $$

に代入すると

$$ \frac{x}{a}+a\cdot \frac{x}{a^2}=1 $$

すなわち

$$ \frac{2x}{a}=1 $$

となるので，

$$ a=2x $$

である。したがって

$$ y=\frac{x}{2a^2}=\frac{x}{2(2x)^2}=\frac{1}{8x} $$

を得る。

よって包絡線は

$$ xy=\frac18 $$

である。

---

次に，線分族の両端を調べる。

**(i)**

$a=\dfrac12$ のとき

$$ \frac{x}{1/2}+2\cdot \frac12, y=1 $$

より

$$ 2x+y=1 $$

である。

この線分は $\left(\dfrac12,0\right)$ と $(0,1)$ を結ぶ。

**(ii)**

$a=1$ のとき

$$ x+2y=1 $$

である。

この線分は $(1,0)$ と $\left(0,\dfrac12\right)$ を結ぶ。

---

ここで，固定した $x$ に対して $y$ を調べる。

線分族は

$$ y=\frac{1}{2a}-\frac{x}{2a^2}\qquad \left(\max\left\{x,\frac12\right\}\le a\le1\right) $$

と書ける。これを $a$ で微分すると

$$ \begin{aligned} \frac{\partial y}{\partial a} &= -\frac{1}{2a^2}+\frac{x}{a^3} \\ \frac{x-a/2}{a^3} \end{aligned} $$

であるから，極大は $a=2x$ のときに生じる。

このことから，境界は次のようになる。

**(i)**

$0\le x\le \dfrac14$ では，上側境界は $2x+y=1$，下側境界は $x+2y=1$。

**(ii)**

$\dfrac14\le x\le \dfrac13$ では，上側境界は $xy=\dfrac18$，下側境界は $x+2y=1$。

**(iii)**

$\dfrac13\le x\le \dfrac12$ では，上側境界は $xy=\dfrac18$，下側境界は $2x+y=1$。

**(iv)**

$\dfrac12\le x\le1$ では，上側境界は $x+2y=1$，下側境界は $y=0$。

また，端点 $P,Q$ 自身も動くので，$OA$ 上の $\left(\dfrac12,0\right)$ から $(1,0)$ まで，$OB$ 上の $\left(0,\dfrac12\right)$ から $(0,1)$ までも境界に含まれる。

以上より，求める領域の境界は

$$ A(1,0)\to \left(\frac12,0\right)\to \left(\frac13,\frac13\right)\to \left(0,\frac12\right)\to B(0,1)\to \left(\frac14,\frac12\right)\to \left(\frac12,\frac14\right)\to A(1,0) $$

を順につないだものであり，それぞれ

• $A(1,0)$ から $\left(\dfrac12,0\right)$ までは $OA$
• $\left(\dfrac12,0\right)$ から $\left(\dfrac13,\dfrac13\right)$ までは $2x+y=1$
• $\left(\dfrac13,\dfrac13\right)$ から $\left(0,\dfrac12\right)$ までは $x+2y=1$
• $\left(0,\dfrac12\right)$ から $B(0,1)$ までは $OB$
• $B(0,1)$ から $\left(\dfrac14,\dfrac12\right)$ までは $2x+y=1$
• $\left(\dfrac14,\dfrac12\right)$ から $\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$ までは $xy=\dfrac18$
• $\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$ から $A(1,0)$ までは $x+2y=1$

である。

解説

この問題の本質は，「面積を $2$ 等分する」という条件を，$P,Q$ の座標で書くと

$$ ab=\frac12 $$

という単純な条件になることである。

したがって，$PQ$ は「軸切片の積が一定である直線の族」になる。こういう直線の族が掃く領域は，両端の直線だけでなく，途中でできる包絡線も境界になる。ここではその包絡線が

$$ xy=\frac18 $$

であった。

極端な位置の直線 $2x+y=1,\ x+2y=1$ と，包絡線 $xy=\dfrac18$ を組み合わせて境界を読むのがポイントである。

答え

求める領域は，次の曲線・線分で囲まれる閉領域である。

$$ A(1,0)\to \left(\frac12,0\right)\to \left(\frac13,\frac13\right)\to \left(0,\frac12\right)\to B(0,1)\to \left(\frac14,\frac12\right)\to \left(\frac12,\frac14\right)\to A(1,0) $$

ただし，各部分は順に

$$ OA,\quad 2x+y=1,\quad x+2y=1,\quad OB,\quad 2x+y=1,\quad xy=\frac18,\quad x+2y=1 $$

である。

したがって，図示すると，直線 $2x+y=1,\ x+2y=1$ と，双曲線

$$ xy=\frac18 $$

の一部，および座標軸上の線分

$$ \frac12\le x\le1,\ y=0,\qquad x=0,\ \frac12\le y\le1 $$

からなる境界をもつ領域になる。