解説

方針・初手

$a$が動くときの通過領域 $A$ は，$x$ を固定したときに $y$ がどの範囲を動くかを調べればよい。

与式を

$$ y=x^3-2ax+a^2=x^3-x^2+(a-x)^2 $$

と変形すると，固定した $x$ に対して $y$ は $(a-x)^2$ の値によって決まる。したがって，各 $x$ における $y$ の最小値・最大値を求めれば，領域 $A$ の上下端が分かる。

解法1

$0\le x\le 1$ を固定する。

このとき

$$ y=x^3-x^2+(a-x)^2 \qquad (0\le a\le 1) $$

である。

$x\in[0,1]$ なので，$a=x$ とできるから $(a-x)^2$ の最小値は $0$ である。よって，固定した $x$ に対する $y$ の最小値は

$$ y_{\min}=x^3-x^2 $$

である。

一方，$(a-x)^2$ の最大値は，区間 $[0,1]$ の端点 $a=0,1$ のうち $x$ から遠い方でとる。

したがって，

**(i)**

$0\le x\le \dfrac12$ のときは $1-x\ge x$ より，最大値は $(1-x)^2$ であり，

$$ y_{\max}=x^3-x^2+(1-x)^2=x^3-2x+1 $$

となる。

**(ii)**

$\dfrac12\le x\le 1$ のときは $x\ge 1-x$ より，最大値は $x^2$ であり，

$$ y_{\max}=x^3-x^2+x^2=x^3 $$

となる。

また，$a$ は連続的に動くので，各固定した $x$ に対して $y$ は最小値から最大値までのすべての値をとる。よって，領域 $A$ は

$$ x^3-x^2\le y\le \begin{cases} x^3-2x+1 & \left(0\le x\le \dfrac12\right),\\[1mm] x^3 & \left(\dfrac12\le x\le 1\right) \end{cases} $$

で表される。

（1） $x=\dfrac12$ のときの $y$ の範囲

上の結果に $x=\dfrac12$ を代入すると，下端は

$$ \left(\dfrac12\right)^3-\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac18-\dfrac14=-\dfrac18 $$

上端は

$$ \left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18 $$

である。

したがって，

$$ -\frac18\le y\le \frac18 $$

である。

（2） $A$ に属する点の $y$ 座標の最小値

領域 $A$ の最小の $y$ は，下端

$$ f(x)=x^3-x^2 \qquad (0\le x\le 1) $$

の最小値である。

微分すると

$$ f'(x)=3x^2-2x=x(3x-2) $$

より，臨界点は $x=0,\dfrac23$ である。

各点での値は

$$ f(0)=0,\qquad f\left(\dfrac23\right)=\left(\dfrac23\right)^3-\left(\dfrac23\right)^2 =\dfrac{8}{27}-\dfrac{12}{27} =-\dfrac{4}{27}, \qquad f(1)=0 $$

であるから，最小値は

$$ -\frac{4}{27} $$

である。

（3） $A$ の面積

面積は，上端と下端の差を積分して求まる。

まず $0\le x\le \dfrac12$ では

$$ \bigl(x^3-2x+1\bigr)-\bigl(x^3-x^2\bigr)=x^2-2x+1=(1-x)^2 $$

であり，$\dfrac12\le x\le 1$ では

$$ x^3-(x^3-x^2)=x^2 $$

である。

したがって，面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{1/2}(1-x)^2,dx+\int_{1/2}^1 x^2,dx $$

となる。

それぞれ計算すると，

$$ \int_0^{1/2}(1-x)^2,dx =\left[-\frac{(1-x)^3}{3}\right]_0^{1/2} =\frac13-\frac1{24} =\frac7{24} $$

$$ \int_{1/2}^1 x^2,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{1/2}^1 =\frac13-\frac1{24} =\frac7{24} $$

であるから，

$$ S=\frac7{24}+\frac7{24}=\frac7{12} $$

となる。

解説

この問題の核心は，$a$ を動かす問題を「$x$ を固定してそのときの $y$ の範囲を見る問題」に直すことである。

特に

$$ y=x^3-x^2+(a-x)^2 $$

という変形が有効である。これにより，固定した $x$ に対して $y$ の最小値はすぐに分かり，最大値も区間 $[0,1]$ の端点との距離比較に帰着する。通過領域の問題では，媒介変数を直接消去しようとするより，このように「固定して上下端を求める」処理の方が見通しがよい。

答え

**(1)**

直線 $x=\dfrac12$ と $A$ の共通部分に属する点の $y$ 座標の範囲は

$$ -\frac18\le y\le \frac18 $$

である。

**(2)**

$A$ に属する点の $y$ 座標の最小値は

$$ -\frac{4}{27} $$

である。

**(3)**

$A$ の面積は

$$ \frac7{12} $$

である。