解説

方針・初手

折り返しによって弧 $PQ$ は別の円弧に移る。このとき、もとの半円の中心 $O=(0,0)$ は、折り返したあとの円の中心へ移るので、折り目である弦 $PQ$ はその2つの中心を結ぶ線分の垂直二等分線になる。

したがって、まず折り返したあとの円の中心を求めれば、弦 $PQ$ の方程式が直ちに出る。さらに、$t$ を動かしたときの弦の通過範囲は、この直線群の包絡線を調べることで決まる。

解法1

折り返したあとの弧 $PQ$ は、半径 $1$ の円の一部であり、$x$ 軸に $(t,0)$ で接する。よって、その円の中心を $C$ とすると

$$ C=(t,1) $$

である。

もとの半円の中心は $O=(0,0)$ であるから、折り目である弦 $PQ$ は線分 $OC$ の垂直二等分線である。したがって、点 $(x,y)$ が弦 $PQ$ 上にあるための条件は

$$ OP=CP $$

ではなく、一般の点 $(x,y)$ について

$$ x^2+y^2=(x-t)^2+(y-1)^2 $$

であることと同値である。

これを整理すると

$$ tx+y=\frac{1+t^2}{2} $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に、$t$ を $-1\le t\le 1$ で動かしたときの弦 $PQ$ の通過範囲を求める。

弦の方程式は

$$ y=-tx+\frac{1+t^2}{2} $$

であるから、$x$ を固定すると

$$ y=\frac{(t-x)^2+1-x^2}{2}\ge \frac{1-x^2}{2} $$

となる。等号は $t=x$ のときに成り立つ。よって、弦 $PQ$ の通過範囲の下側の境界は放物線

$$ y=\frac{1-x^2}{2} $$

である。

一方、弦 $PQ$ はもとの半円の内部にあるから、上側の境界は半円

$$ x^2+y^2=1,\qquad y\ge 0 $$

である。

したがって、通過範囲は

$$ \frac{1-x^2}{2}\le y\le \sqrt{1-x^2}\qquad (-1\le x\le 1) $$

で表される領域である。

この面積を $S$ とすると、

$$ S=\int_{-1}^{1}\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{1-x^2}{2}\right),dx $$

である。

前半は半径 $1$ の半円の面積だから

$$ \int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2},dx=\frac{\pi}{2} $$

であり、後半は

$$ \int_{-1}^{1}\frac{1-x^2}{2},dx =\frac12\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac12\cdot\frac43 =\frac23 $$

である。よって

$$ S=\frac{\pi}{2}-\frac23 $$

となる。

なお、逆に半円内で

$$ y\ge \frac{1-x^2}{2} $$

を満たす任意の点 $(x,y)$ に対し、

$$ t^2-2xt+(1-2y)=0 $$

を考えると、判別式は

$$ \Delta=4(x^2+2y-1)\ge 0 $$

であるから実数解をもつ。また、根の和は $2x\in[-2,2]$、根の積は $1-2y\in[-1,1]$ であるため、2つの根がともに区間 $[-1,1]$ の外に出ることはない。したがって、少なくとも1つの根は $[-1,1]$ に属し、その点は実際にある弦 $PQ$ 上にある。よって上の領域がちょうど通過範囲である。

解説

この問題の本質は、折り返し後の円の中心を考えることである。弧を折り返すと、円そのものが折り返されるので、折り目は2つの中心を結ぶ線分の垂直二等分線になる。ここに気づけば （1） は一気に決まる。

（2） では、直線群

$$ tx+y=\frac{1+t^2}{2} $$

の下側の包絡線が

$$ y=\frac{1-x^2}{2} $$

になることを見抜けるかが要点である。通過範囲は「半円の内側」かつ「この放物線の上側」の部分になる。

答え

**(1)**

弦 $PQ$ を通る直線の方程式は

$$ tx+y=\frac{1+t^2}{2} $$

である。

**(2)**

弦 $PQ$ の通過範囲は、半円

$$ x^2+y^2=1,\qquad y\ge 0 $$

と放物線

$$ y=\frac{1-x^2}{2} $$

にはさまれた部分、すなわち

$$ \frac{1-x^2}{2}\le y\le \sqrt{1-x^2}\qquad (-1\le x\le 1) $$

である。その面積は

$$ \frac{\pi}{2}-\frac23 $$

である。