解説

方針・初手

直線 $\ell$ を

$$ x\cos\theta+y\sin\theta=\cos\theta+1 $$

と見ると，法線ベクトルは $(\cos\theta,\sin\theta)$ であり，その長さは $1$ である。

したがって，点と直線の距離は計算しやすい。また

$$ x\cos\theta+y\sin\theta=\cos\theta+1 \iff (x-1)\cos\theta+y\sin\theta=1 $$

と変形すると，$\theta$ を動かしたときにどの点がどこかの直線 $\ell$ 上に乗るかを調べやすい。

解法1

**(1)**

$\theta=0,\ \theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき

$\theta=0$ のときは $\cos0=1,\ \sin0=0$ であるから，

$$ x\cdot1+y\cdot0=1+1 $$

より

$$ x=2 $$

である。

$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のときは $\cos\dfrac{\pi}{2}=0,\ \sin\dfrac{\pi}{2}=1$ であるから，

$$ x\cdot0+y\cdot1=0+1 $$

より

$$ y=1 $$

である。

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（2） 点 $(1,0)$ と $\ell$ の距離

直線 $\ell$ を一般形で書くと

$$ x\cos\theta+y\sin\theta-(\cos\theta+1)=0 $$

である。

よって，点 $(1,0)$ とこの直線との距離 $d$ は

$$ d= \frac{|1\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta-(\cos\theta+1)|} {\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}} $$

となる。

分子は

$$ |\cos\theta-\cos\theta-1|=1 $$

であり，分母は

$$ \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1 $$

であるから，

$$ d=1 $$

である。

したがって，$\ell$ と点 $(1,0)$ との距離は $\theta$ によらず一定であり，その値は $1$ である。

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**(3)**

$\ell$ が通過する領域

点 $(x,y)$ が，ある $\theta\ (0\leqq\theta\leqq \dfrac{\pi}{2})$ に対する直線 $\ell$ 上にあるための条件は

$$ (x-1)\cos\theta+y\sin\theta=1 $$

となることである。

ここで

$$ u=x-1,\qquad v=y $$

とおき，

$$ f(\theta)=u\cos\theta+v\sin\theta $$

とする。求めるのは，ある $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ で $f(\theta)=1$ となる点全体である。

**(i)**

$u\leqq0,\ v\leqq0$ のとき

このとき $\cos\theta,\sin\theta\geqq0$ であるから，

$$ f(\theta)\leqq0 $$

となり，$f(\theta)=1$ は不可能である。

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**(ii)**

$u\leqq0,\ v\geqq0$ のとき

このとき

$$ f'(\theta)=-u\sin\theta+v\cos\theta\geqq0 $$

であるから，$f(\theta)$ は単調増加である。したがって

$$ f(0)=u,\qquad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=v $$

より，$f(\theta)=1$ となるのは

$$ v\geqq1 $$

のときに限る。すなわち

$$ x\leqq1,\ y\geqq1 $$

である。

---

**(iii)**

$u\geqq0,\ v\leqq0$ のとき

このとき

$$ f'(\theta)=-u\sin\theta+v\cos\theta\leqq0 $$

であるから，$f(\theta)$ は単調減少である。したがって $f(\theta)=1$ となるのは

$$ u\geqq1 $$

のときに限る。すなわち

$$ x\geqq2,\ y\leqq0 $$

である。

---

**(iv)**

$u\geqq0,\ v\geqq0$ のとき

このとき $f(\theta)$ の最大値は

$$ \sqrt{u^2+v^2} $$

であり，最小値は端点での値 $\min{u,v}$ である。よって $f(\theta)=1$ となるための条件は

$$ \min{u,v}\leqq1\leqq\sqrt{u^2+v^2} $$

である。

これを $x,y$ で書き直すと

$$ x\leqq2\ \text{または}\ y\leqq1, \qquad (x-1)^2+y^2\geqq1 $$

となる。

以上をまとめると，$\ell$ が通過する領域は

$$ {(x,y)\mid x\leqq2,\ y\geqq1} \cup {(x,y)\mid x\geqq2,\ y\leqq1} \cup {(x,y)\mid 1\leqq x\leqq2,\ 0\leqq y\leqq1,\ (x-1)^2+y^2\geqq1} $$

である。

したがって，境界は

• 直線 $x=2$ のうち $y\leqq1$ の部分
• 直線 $y=1$ のうち $x\leqq2$ の部分
• 円

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

のうち，$(2,0)$ から $(1,1)$ までの第1象限の弧

であり，求める領域はそれらで囲まれる側である。

解説

この直線群は，すべて点 $(1,0)$ からの距離が $1$ の直線である。したがって，半径 $1$，中心 $(1,0)$ の円

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

の接線群とみなせる。

実際，$\theta$ に応じて法線ベクトル $(\cos\theta,\sin\theta)$ が第1象限を動くので，接点は円の第1象限の弧 $(2,0)$ から $(1,1)$ までを動く。そのため，通過領域の境界にこの円弧が現れ，端では接線 $x=2,\ y=1$ が現れるのである。

答え

**(1)**

$$ \theta=0\ \text{のとき}\ x=2,\qquad \theta=\frac{\pi}{2}\ \text{のとき}\ y=1 $$

**(2)**

$\ell$ と点 $(1,0)$ との距離は $\theta$ によらず一定であり，

$$ 1 $$

である。

**(3)**

$\ell$ が通過する領域は

$$ {(x,y)\mid x\leqq2,\ y\geqq1} \cup {(x,y)\mid x\geqq2,\ y\leqq1} \cup {(x,y)\mid 1\leqq x\leqq2,\ 0\leqq y\leqq1,\ (x-1)^2+y^2\geqq1} $$

である。

境界は

$$ x=2\ (y\leqq1),\qquad y=1\ (x\leqq2),\qquad (x-1)^2+y^2=1\ \text{の弧 }(2,0)\text{から}(1,1) $$

である。