解説

方針・初手

直線 $L$ が放物線 $y=ax^2+bx+c$ の接線であるためには，両者を連立して得られる $x$ の二次方程式が重解をもてばよい。したがって，判別式が常に $0$ になる条件から $a,b,c$ を決める。

面積については，$x$ を固定して $y$ を $t$ の式とみると，$1\leqq t\leqq 2$ における最大値と最小値が分かるので，その差を $x$ について積分すればよい。

解法1

直線 $L$ と放物線 $y=ax^2+bx+c$ の共有点の $x$ 座標は

$$ ax^2+bx+c=(2t-3)x-t^2+2 $$

より，

$$ ax^2+(b-2t+3)x+(c+t^2-2)=0 $$

を満たす。

この二次方程式が $t$ の値によらず重解をもつので，判別式は恒等的に $0$ である。よって

$$ (b-2t+3)^2-4a(c+t^2-2)=0 $$

がすべての実数 $t$ で成り立つ。

これを $t$ について整理すると，

$$ 4t^2-4(b+3)t+(b+3)^2-4ac+8a-4at^2=0 $$

すなわち

$$ 4(1-a)t^2-4(b+3)t+{(b+3)^2-4ac+8a}=0 $$

である。これが恒等式であるから，各係数はすべて $0$ である。

まず $t^2$ の係数から

$$ 4(1-a)=0 $$

より

$$ a=1 $$

である。

次に $t$ の係数から

$$ -4(b+3)=0 $$

より

$$ b=-3 $$

である。

さらに定数項から

$$ (b+3)^2-4ac+8a=0 $$

に $a=1,\ b=-3$ を代入して

$$ 0-4c+8=0 $$

より

$$ c=2 $$

となる。

したがって，接する放物線は

$$ y=x^2-3x+2 $$

である。

次に面積を求める。直線 $L$ は

$$ y=(2t-3)x-t^2+2 $$

であり，これを $t$ について整理すると

$$ y=-(t-x)^2+x^2-3x+2 $$

となる。

ここで $x$ を固定すると，右辺は $t$ の下に凸の二次関数である。

**(i)**

$0\leqq x\leqq 1$ のとき

この範囲では $1\leqq t\leqq 2$ に対して常に $t\geqq x$ であるから，$y$ は $t$ の増加とともに減少する。したがって

$$ \text{最大値}=t=1\text{ のとき }y=1-x, \qquad \text{最小値}=t=2\text{ のとき }y=x-2 $$

である。

よってこの部分の面積は

$$ A_1=\int_0^1{(1-x)-(x-2)},dx =\int_0^1(3-2x),dx =2 $$

である。

**(ii)**

$1\leqq x\leqq 2$ のとき

このとき頂点 $t=x$ が区間 $[1,2]$ 内にあるので，最大値は

$$ t=x\text{ のとき }y=x^2-3x+2 $$

である。

一方，最小値は区間の両端 $t=1,2$ のうち，頂点から遠い方でとる。

まず

$$ t=1\text{ のとき }y=1-x, \qquad t=2\text{ のとき }y=x-2 $$

である。

**(ア)**

$1\leqq x\leqq \dfrac{3}{2}$ のときは，$x$ は $2$ に近いよりも $1$ に近いので，頂点から遠い端は $t=2$ であり，最小値は $x-2$ である。

**(イ)**

$\dfrac{3}{2}\leqq x\leqq 2$ のときは，頂点から遠い端は $t=1$ であり，最小値は $1-x$ である。

したがってこの部分の面積は

$$ A_2= \int_1^{3/2}{(x^2-3x+2)-(x-2)},dx +\int_{3/2}^2{(x^2-3x+2)-(1-x)},dx $$

である。被積分関数を整理すると

$$ A_2= \int_1^{3/2}(x-2)^2,dx +\int_{3/2}^2(x-1)^2,dx $$

となるので，

$$ \begin{aligned} A_2 &=\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]*1^{3/2} +\left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]*{3/2}^2 \\ &=\left(-\frac{1}{24}+\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{24}\right) \\ &=\frac{7}{24}+\frac{7}{24} =\frac{7}{12} \end{aligned} $$

である。

よって求める面積は

$$ A=A_1+A_2=2+\frac{7}{12}=\frac{31}{12} $$

となる。

解説

前半は「接線である」という条件を，連立方程式の重解条件に直すのが基本である。ここでは $t$ が任意なので，判別式が $t$ の恒等式として $0$ になることを使うのが最短である。

後半は，直線群が通過する領域を直接図形的に追うよりも，$x$ を固定して $y$ の取りうる範囲を調べる方が確実である。式

$$ y=-(t-x)^2+x^2-3x+2 $$

と変形すると，最大値・最小値の判定が頂点と端点の比較に帰着されるため，場合分けが明確になる。

答え

**(1)**

$$ a=1,\quad b=-3,\quad c=2 $$

したがって

$$ \boxed{\text{ハ}=1,\ \text{ヒ}=-3,\ \text{フ}=2} $$

である。

**(2)**

求める面積は

$$ \frac{31}{12} $$

である。したがって

$$ \boxed{\text{ヘ}=31,\ \text{ホ}=12} $$

である。