解説

方針・初手

$\sin\theta$ を $x$ とおくと，$x\in[-1,1]$ であり，また

$$ \cos 2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2x^2 $$

である。したがって，もとの方程式が実数解をもつ条件は，

$$ 1-2x^2=ax+b $$

を満たす $x\in[-1,1]$ が存在することと同値である。

よって，固定した $a$ に対して

$$ b=1-2x^2-ax $$

の取りうる値の範囲を調べればよい。

解法1

$f_a(x)=1-2x^2-ax$ とおく。$x\in[-1,1]$ に対して，$b=f_a(x)$ となる $x$ が存在すればよい。

したがって，求める条件は

$$ \min_{-1\le x\le 1} f_a(x)\le b\le \max_{-1\le x\le 1} f_a(x) $$

である。

$f_a(x)$ は $x$ に関する下に凸ではなく，上に凸の二次関数であるから，最小値は端点でとる。

端点での値は

$$ f_a(1)=1-2-a=-a-1, \qquad f_a(-1)=1-2+a=a-1 $$

である。よって最小値は

$$ \min_{-1\le x\le 1} f_a(x) =\min{a-1,,-a-1} =-|a|-1 $$

となる。

次に最大値を求める。$f_a(x)$ の頂点は

$$ x=-\frac{a}{4} $$

である。

**(i)**

$|a|\le 4$ のとき

このとき頂点 $x=-\dfrac{a}{4}$ は区間 $[-1,1]$ 内にあるので，最大値は頂点でとる。

$$ \max_{-1\le x\le 1} f_a(x) =f_a\left(-\frac{a}{4}\right) =1-2\left(\frac{a^2}{16}\right)-a\left(-\frac{a}{4}\right) =1+\frac{a^2}{8} $$

**(ii)**

$a>4$ のとき

頂点は $x<-1$ にあるので，区間 $[-1,1]$ では単調減少であり，最大値は $x=-1$ でとる。したがって

$$ \max_{-1\le x\le 1} f_a(x)=f_a(-1)=a-1 $$

**(iii)**

$a<-4$ のとき

頂点は $x>1$ にあるので，区間 $[-1,1]$ では単調増加であり，最大値は $x=1$ でとる。したがって

$$ \max_{-1\le x\le 1} f_a(x)=f_a(1)=-a-1 $$

以上より，最大値は

$$ \max_{-1\le x\le 1} f_a(x)= \begin{cases} 1+\dfrac{a^2}{8} & (|a|\le 4),\\[6pt] |a|-1 & (|a|\ge 4) \end{cases} $$

となる。

したがって，求める存在範囲は

$$ -|a|-1\le b\le \begin{cases} 1+\dfrac{a^2}{8} & (|a|\le 4),\\[6pt] |a|-1 & (|a|\ge 4) \end{cases} $$

である。

これを境界で書き直すと，上側の境界は

$$ b= \begin{cases} -a-1 & (a\le -4),\\[4pt] 1+\dfrac{a^2}{8} & (-4\le a\le 4),\\[6pt] a-1 & (a\ge 4), \end{cases} $$

下側の境界は

$$ b= \begin{cases} a-1 & (a\le 0),\\[4pt] -a-1 & (a\ge 0) \end{cases} $$

であり，この2つにはさまれた閉領域が答えである。

解説

$\sin\theta$ は $[-1,1]$ のすべての値をとるので，三角関数の方程式を $x=\sin\theta$ の二次式に直すのが基本方針である。

その後は，「ある $x$ が存在する」という条件を，固定した $a$ に対する $f_a(x)=1-2x^2-ax$ の値域として処理するのが最も自然である。上に凸の二次関数なので，最小値は端点，最大値は頂点または端点で決まる。この見通しが立てば計算は整理しやすい。

答え

点 $(a,b)$ の存在範囲は

$$ -|a|-1\le b\le \begin{cases} 1+\dfrac{a^2}{8} & (|a|\le 4),\\[6pt] |a|-1 & (|a|\ge 4) \end{cases} $$

で表される閉領域である。

すなわち，座標平面上では，下側境界

$$ b=-|a|-1 $$

と，上側境界

$$ b= \begin{cases} -a-1 & (a\le -4),\\[4pt] 1+\dfrac{a^2}{8} & (-4\le a\le 4),\\[6pt] a-1 & (a\ge 4) \end{cases} $$

にはさまれた部分である。