解説

方針・初手

$f'(0)=1$ であるから、$t \to 0$ のとき

$$ f(t)=f(0)+t+o(t) $$

と表せる。これをそれぞれ $t=\sin x,\ \sin 8x,\ \tan x$ に適用すればよい。

解法1

$f'(0)=1$ より、

$$ \lim_{t\to 0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=1 $$

である。したがって $t\to 0$ のとき

$$ f(t)=f(0)+t+o(t) $$

と書ける。

まず

$$ \begin{aligned} \frac{f(\sin x)-f(0)}{x} &= \frac{f(\sin x)-f(0)}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x} \end{aligned} $$

と変形すると、$x\to 0$ で $\sin x\to 0$ だから

$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(\sin x)-f(0)}{\sin x}=f'(0)=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$

より

$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(\sin x)-f(0)}{x}=1 $$

となる。よって

$$ [ア]=1 $$

である。

次に、$t\to 0$ のとき $f(t)=f(0)+t+o(t)$ を用いると、

$$ f(\sin 8x)=f(0)+\sin 8x+o(\sin 8x), $$

$$ f(\tan x)=f(0)+\tan x+o(\tan x) $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} f(\sin 8x)-f(\tan x) &= (\sin 8x-\tan x)+o(\sin 8x)-o(\tan x) \end{aligned} $$

となる。

ここで $\sin 8x=O(x)$, $\tan x=O(x)$ であるから

$$ o(\sin 8x)=o(x),\qquad o(\tan x)=o(x) $$

であり、

$$ f(\sin 8x)-f(\tan x)=\sin 8x-\tan x+o(x) $$

を得る。これを $x$ で割ると

$$ \begin{aligned} \frac{f(\sin 8x)-f(\tan x)}{x} &= \frac{\sin 8x}{x}-\frac{\tan x}{x}+\frac{o(x)}{x} \end{aligned} $$

であるから、$x\to 0$ で

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 8x}{x}=8,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0 $$

より

$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(\sin 8x)-f(\tan x)}{x}=8-1=7 $$

となる。よって

$$ [イ]=7 $$

である。

解説

この問題の要点は、$f'(0)=1$ から

$$ f(t)=f(0)+t+o(t) $$

という一次近似が使えることである。1つ目はそのまま微分係数の定義に帰着し、2つ目は $f$ の差を中身の差 $\sin 8x-\tan x$ に置き換えるのが本質である。

答え

$$ [ア]=1,\qquad [イ]=7 $$