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数学3 微分法「微分の基本」の問題2 解説

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数学3微分法微分の基本問題2

解説

外側に平方根、内側に $x+\sqrt{1+x^2}$ がある合成関数である。したがって、まず

$$ y=\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{\frac12} $$

と見て、連鎖律を用いて微分する。

与式を

$$ y=\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{\frac12} $$

と書く。

すると、連鎖律より

$$ \frac{dy}{dx} =\frac12\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{-\frac12} \left(1+\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2}\right) $$

である。

ここで

$$ \frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2} =\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$

だから、

$$ \frac{dy}{dx} =\frac12\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{-\frac12} \left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) $$

となる。

これを整理すると、

$$ \frac{dy}{dx} =\frac12\cdot \frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}} $$

であり、$\sqrt{1+x^2}+x=x+\sqrt{1+x^2}$ を用いれば

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\sqrt{1+x^2}} $$

したがって、

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}{2\sqrt{1+x^2}} $$

を得る。

この問題の要点は、平方根を含む関数をべき乗の形に直して連鎖律を使うことである。

また、最後の整理で

$$ \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}} =\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}} $$

とできるため、答えがかなり簡潔になる。計算自体は標準的であるが、$\sqrt{1+x^2}$ の微分を正確に処理することが重要である。

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}{2\sqrt{1+x^2}} $$

である。