解説

方針・初手

$t$ を定数として $x$ の整式とみる。まず 2 つの整式を因数分解して最大公約数 $g_t(x)$ を求める。

その後、

$$ f(x)=\int_0^x |g_t(x)|,dt $$

において、実質的に被積分関数が $|x^2-t|$ になることを用いる。ここで $0\le t\le x$ なので、符号の変化点 $t=x^2$ が積分区間内に入るかどうかで、$0<x<1$ と $x\ge 1$ に場合分けすればよい。

解法1

まず

$$ x^3-2tx^2-tx+2t^2 $$

を因数分解すると、

$$ x^3-2tx^2-tx+2t^2 = x^2(x-2t)-t(x-2t) = (x-2t)(x^2-t) $$

である。

同様に、

$$ 2x^3-tx^2-2tx+t^2 = x^2(2x-t)-t(2x-t) = (2x-t)(x^2-t) $$

となる。

したがって、両者の共通因子として $x^2-t$ をもつ。

さらに、$x-2t$ と $2x-t$ が共通因子をもつのは、それらが $x$ の一次式として一致する場合、すなわち $t=0$ のときに限る。実際、$t=0$ のとき

$$ x^3-2tx^2-tx+2t^2=x^3,\qquad 2x^3-tx^2-2tx+t^2=2x^3 $$

であるから、このときの最大公約数は $x^3$ である。

よって、

$$ g_t(x)= \begin{cases} x^3 & (t=0),\\ x^2-t & (t\ne 0). \end{cases} $$

これより、積分では $t=0$ の 1 点を除いて $g_t(x)=x^2-t$ である。1 点で値が異なっても定積分の値は変わらないから、

$$ f(x)=\int_0^x |x^2-t|,dt $$

としてよい。

（1） $g_t(x)$ を求める

以上より、

$$ g_t(x)= \begin{cases} x^3 & (t=0),\\ x^2-t & (t\ne 0) \end{cases} $$

である。

（2） $f(x)$ を求める

（i） $0<x<1$ のとき

このとき $x^2<x$ であるから、積分区間 $[0,x]$ の中で $t=x^2$ を境に符号が変わる。したがって、

$$ f(x)=\int_0^{x^2}(x^2-t),dt+\int_{x^2}^x (t-x^2),dt $$

である。

前半は

$$ \int_0^{x^2}(x^2-t),dt = \left[x^2t-\frac12 t^2\right]_0^{x^2} = x^4-\frac12 x^4 = \frac12 x^4 $$

後半は

$$ \int_{x^2}^x (t-x^2),dt = \left[\frac12 t^2-x^2t\right]_{x^2}^x = \left(\frac12 x^2-x^3\right)-\left(\frac12 x^4-x^4\right) = \frac12 x^2-x^3+\frac12 x^4 $$

であるから、

$$ f(x)=x^4-x^3+\frac12 x^2 $$

となる。

（ii） $x\ge 1$ のとき

このとき $x^2\ge x$ であり、$0\le t\le x$ では常に $x^2-t\ge 0$ である。よって、

$$ f(x)=\int_0^x (x^2-t),dt = \left[x^2t-\frac12 t^2\right]_0^x = x^3-\frac12 x^2 $$

である。

以上より、

$$ f(x)= \begin{cases} x^4-x^3+\dfrac12 x^2 & (0<x<1),\\[1mm] x^3-\dfrac12 x^2 & (x\ge 1) \end{cases} $$

となる。

（3） $f(x)$ は $x=1$ において微分可能であることを示す

まず、$x=1$ における左右の関数値を調べると、

$$ \lim_{x\to 1-} f(x)=1-1+\frac12=\frac12, \qquad f(1)=1-\frac12=\frac12 $$

であるから、$f(x)$ は $x=1$ で連続である。

次に、左右の導関数を求める。

$0<x<1$ では

$$ f'(x)=4x^3-3x^2+x $$

であり、$x>1$ では

$$ f'(x)=3x^2-x $$

である。

したがって、

$$ \lim_{x\to 1-} f'(x)=4-3+1=2, \qquad \lim_{x\to 1+} f'(x)=3-1=2 $$

となり、左右微分係数が一致する。よって $f(x)$ は $x=1$ において微分可能であり、

$$ f'(1)=2 $$

である。

解説

この問題の要点は、まず $t$ を定数として $x$ の整式の最大公約数を考えることである。因数分解すると両式に $x^2-t$ が共通因子として現れるので、これが本質的な最大公約数になる。

次に、$f(x)$ では積分変数が $t$ であり、$x$ は上端と被積分関数の両方に含まれている。このため、$|x^2-t|$ の符号がどこで変わるかを見る必要がある。符号の変化点は $t=x^2$ であり、これが区間 $[0,x]$ の内部に入るのは $0<x<1$ のときだけである。この見極めができれば、あとは素直な積分計算である。

また、$x=1$ で微分可能かどうかは、求めた $f(x)$ の式を左右から微分して一致を確かめれば十分である。

答え

**(1)**

$$ g_t(x)= \begin{cases} x^3 & (t=0),\\ x^2-t & (t\ne 0) \end{cases} $$

**(2)**

$$ f(x)= \begin{cases} x^4-x^3+\dfrac12 x^2 & (0<x<1),\\[1mm] x^3-\dfrac12 x^2 & (x\ge 1) \end{cases} $$

**(3)**

$f(x)$ は $x=1$ において微分可能であり、

$$ f'(1)=2 $$

である。