解説

方針・初手

指数にも底にも $x$ が含まれているので、そのままでは微分しにくい。 このような形では対数微分法を用い、まず $\log y$ をとってから微分するのが基本である。

解法1

$$ y=x^{1/x} $$

であり、$x>0$ だから $\log x$ が定義できる。両辺の自然対数をとると

$$ \log y=\log \left(x^{1/x}\right)=\frac{1}{x}\log x $$

となる。

これを $x$ で微分すると、

$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{\log x}{x}\right) $$

である。右辺は商の微分、または積の微分を用いて

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{\log x}{x}\right) =\frac{x\cdot \frac{1}{x}-\log x}{x^2} =\frac{1-\log x}{x^2} $$

となる。したがって

$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1-\log x}{x^2} $$

より、

$$ \frac{dy}{dx}=y\cdot \frac{1-\log x}{x^2} $$

である。ここで $y=x^{1/x}$ を代入すると

$$ \frac{dy}{dx}=x^{1/x}\cdot \frac{1-\log x}{x^2} $$

を得る。

解説

$x^{1/x}$ のように、底と指数の両方に変数がある関数は対数微分法が有効である。 $\log y=\frac{\log x}{x}$ と直せば、あとは通常の微分計算に帰着できる。

また、条件 $x>0$ は $\log x$ を用いるために必要である。この条件を見落とすと対数微分法の根拠が曖昧になるので注意が必要である。

答え

$$ \frac{dy}{dx}=x^{1/x}\frac{1-\log x}{x^2} $$