基礎問題集

数学3 微分法「微分の基本」の問題5 解説

数学3の微分法「微分の基本」にある問題5の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学3微分法微分の基本問題5

解説

$x,y$ がともに媒介変数 $\theta$ で与えられているので、まず $\theta$ で微分し、

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} $$

を用いる。

与えられた式は

$$ x=a\theta-b\sin\theta,\qquad y=a-b\cos\theta $$

である。

これらを $\theta$ で微分すると、

$$ \frac{dx}{d\theta}=a-b\cos\theta $$

$$ \frac{dy}{d\theta}=b\sin\theta $$

となる。

したがって、媒介変数表示の微分公式より

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} =\frac{b\sin\theta}{a-b\cos\theta} $$

である。

ここで $a>b>0$ より

$$ a-b\cos\theta \ge a-b>0 $$

であるから、分母は常に $0$ にならず、この式はすべての $\theta$ で意味をもつ。

媒介変数表示では、$y$ を直接 $x$ の式に直してから微分する必要はない。$\theta$ を使ってそれぞれ微分し、その比を取ればよい。

この問題では $a>b>0$ という条件により、$\dfrac{dx}{d\theta}=a-b\cos\theta$ が常に正であることも確認できる。したがって $\dfrac{dy}{dx}$ は確かに上の式で与えられる。

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{b\sin\theta}{a-b\cos\theta} $$