解説

方針・初手

与えられた関係式は、$y=x+h$ とおくことで差商の形に直せる。すると微分係数が直接求まる。

そのうえで、得られた微分方程式

$$ f'(x)={f(x)}^2 $$

を用いれば、高階導関数は帰納法で求められる。

解法1

$x\neq 0$ を固定する。$h\to 0$ のとき、$x+h\neq 0$ となるように十分小さい $h$ をとれば、与えられた関係式に $y=x+h$ を代入して

$$ f(x)-f(x+h)=(x-(x+h))f(x)f(x+h) $$

すなわち

$$ f(x+h)-f(x)=h,f(x)f(x+h) $$

を得る。

したがって

$$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)f(x+h) $$

である。

$f$ は連続であるから、$h\to 0$ とすると $f(x+h)\to f(x)$ であり、

$$ \begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \lim_{h\to 0}f(x)f(x+h) \\ {f(x)}^2 \end{aligned} $$

となる。よって $f$ は $x\neq 0$ において微分可能であり、

$$ f'(x)={f(x)}^2 $$

である。

次に高階導関数を求める。

まず $n=1$ のときはすでに

$$ f'(x)=1!{f(x)}^2 $$

である。

ここで、ある自然数 $n$ について

$$ f^{(n)}(x)=n!{f(x)}^{n+1} $$

が成り立つと仮定する。この両辺を微分すると、

$$ \begin{aligned} f^{(n+1)}(x) &= n!(n+1){f(x)}^n f'(x) \end{aligned} $$

となる。ここで $f'(x)={f(x)}^2$ を用いれば、

$$ \begin{aligned} f^{(n+1)}(x) &= n!(n+1){f(x)}^n {f(x)}^2 \\ (n+1)!{f(x)}^{n+2} \end{aligned} $$

を得る。

したがって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して

$$ f^{(n)}(x)=n!{f(x)}^{n+1} $$

が成り立つ。

解説

この問題の本質は、関係式がそのまま差商を与えている点にある。$y=x+h$ とおくと、左辺は $f(x+h)-f(x)$、右辺は $h$ を含む形になり、微分係数が直接現れる。

その結果 $f'(x)={f(x)}^2$ という簡潔な式が得られるので、高階導関数はこれを繰り返し用いて処理できる。個別に何回も微分して規則性を推測するより、帰納法で一気に示すのが自然である。

答え

**(1)**

$f$ は $x\neq 0$ で微分可能であり、

$$ f'(x)={f(x)}^2 $$

である。

**(2)**

任意の自然数 $n$ に対して、

$$ f^{(n)}(x)=n!{f(x)}^{n+1} $$

である。