解説

方針・初手

$\sqrt[5]{1+x}$ は $f(t)=t^{1/5}$ に対して $t=1+x$ と見ればよい。したがって、$a=1$ のまわりでの 1 次近似式・2 次近似式を求めるには、まず $f(1),f'(1),f''(1)$ を計算する。

また、$\sqrt[5]{3100}$ の近似では、$3100$ が $3125=5^5$ に近いことに着目して $\sqrt[5]{1+x}$ の形に直すのが初手である。

解法1

$f(t)=t^{1/5}$ とおくと、

$$ f'(t)=\frac{1}{5}t^{-4/5},\qquad f''(t)=-\frac{4}{25}t^{-9/5} $$

である。

したがって、

$$ f(1)=1,\qquad f'(1)=\frac{1}{5},\qquad f''(1)=-\frac{4}{25} $$

となる。

（1） 1 次近似式は

$$ f(1+x)\fallingdotseq f(1)+f'(1)x =1+\frac{1}{5}x $$

である。よって

$$ [ア]=1+\frac{1}{5}x $$

である。

（2） 2 次近似式は

$$ f(1+x)\fallingdotseq f(1)+f'(1)x+\frac{f''(1)}{2}x^2 $$

より、

$$ \sqrt[5]{1+x}\fallingdotseq 1+\frac{1}{5}x-\frac{2}{25}x^2 $$

である。したがって

$$ [イ]=1+\frac{1}{5}x-\frac{2}{25}x^2 $$

である。

**(3)**

$$ 3100=3125-25=3125\left(1-\frac{25}{3125}\right) =3125\left(1-\frac{1}{125}\right) $$

であるから、

$$ \sqrt[5]{3100} =\sqrt[5]{3125\left(1-\frac{1}{125}\right)} =5\sqrt[5]{1-\frac{1}{125}} $$

となる。よって

$$ [サ]=5\sqrt[5]{1-\frac{1}{125}} $$

である。

ここで $x=-\frac{1}{125}$ として （1） の近似式

$$ \sqrt[5]{1+x}\fallingdotseq 1+\frac{1}{5}x $$

を用いると、

$$ \sqrt[5]{1-\frac{1}{125}} \fallingdotseq 1+\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{125}\right) =1-\frac{1}{625} =\frac{624}{625} $$

したがって、

$$ \sqrt[5]{3100}\fallingdotseq 5\cdot \frac{624}{625} =\frac{3120}{625} =4.992 $$

よって

$$ [エ]=4.992 $$

である。

解説

この問題の要点は、近似式そのものを機械的に使うのではなく、近似したい値を $\sqrt[5]{1+x}$ の形に持ち込むことである。

$\sqrt[5]{3100}$ をそのまま扱うのではなく、$3100$ が $5^5=3125$ に近いことから

$$ \sqrt[5]{3100}=5\sqrt[5]{1-\frac{1}{125}} $$

と直すのが本質である。こうすると $x=-\frac{1}{125}$ は十分小さいので、1 次近似式がそのまま使える。

答え

**(1)**

$[ア]=1+\dfrac{1}{5}x$

**(2)**

$[イ]=1+\dfrac{1}{5}x-\dfrac{2}{25}x^2$

**(3)**

$[サ]=5\sqrt[5]{1-\dfrac{1}{125}}$, $[エ]=4.992$