解説

方針・初手

$x=0$ では分岐の定義になっているので、まず導関数の定義に戻って $f'(0)$ を求める。

一方、$x\neq 0$ では

$$ f(x)=x+2x^2\sin\frac{1}{x} $$

であるから、通常どおり微分してから $x=\dfrac{1}{2n\pi}$ を代入すればよい。

解法1

まず $f'(0)$ を求める。

$f(0)=0$ より、導関数の定義から

$$ f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{h+2h^2\sin\frac{1}{h}}{h} $$

である。これを整理すると

$$ f'(0)=\lim_{h\to 0}\left(1+2h\sin\frac{1}{h}\right) $$

となる。

ここで $-1\leqq \sin\dfrac{1}{h}\leqq 1$ であるから

$$ -2|h|\leqq 2h\sin\frac{1}{h}\leqq 2|h| $$

が成り立ち、$h\to 0$ のとき $2h\sin\dfrac{1}{h}\to 0$ である。したがって

$$ f'(0)=1 $$

である。

次に、$x\neq 0$ における導関数を求める。

$$ f(x)=x+2x^2\sin\frac{1}{x} $$

より、積の微分と合成関数の微分を用いて

$$ \begin{aligned} f'(x) &=1+\frac{d}{dx}\left(2x^2\sin\frac{1}{x}\right) \\ &=1+4x\sin\frac{1}{x}+2x^2\cos\frac{1}{x}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ &=1+4x\sin\frac{1}{x}-2\cos\frac{1}{x} \end{aligned} $$

となる。

ここで $x=\dfrac{1}{2n\pi}$（$n=\pm1,\pm2,\pm3,\dots$）を代入すると、

$$ \frac{1}{x}=2n\pi $$

であるから

$$ \sin(2n\pi)=0,\qquad \cos(2n\pi)=1 $$

である。よって

$$ f'\left(\frac{1}{2n\pi}\right) =1+4\cdot \frac{1}{2n\pi}\cdot 0-2\cdot 1 =-1 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$x=0$ では通常の微分公式を使わず、必ず導関数の定義に戻ることである。

また、$x\neq 0$ では $\sin\dfrac{1}{x}$ を含む関数の微分になるが、$x=\dfrac{1}{2n\pi}$ では $\dfrac{1}{x}=2n\pi$ となって三角関数の値が簡単になるため、微分式を作ってから代入するのが最も素直である。

答え

$\mathrm{[ア]}=1$

$\mathrm{[イ]}=-1$