解説

方針・初手

$n\to\infty$ における極限は、$|x|<1$ と $|x|>1$ で振る舞いが変わる。したがってまず $f(x)$ を区間ごとに求め、連続性が問題となる境界点 $x=\pm1$ で条件を課せばよい。

解法1

$ f(x) $ を

$$ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n+1}+ax^2+bx+1}{x^{2n}+1} $$

で定める。

まず $|x|<1$ のとき、$x^{2n}\to0,\ x^{2n+1}\to0$ であるから、

$$ f(x)=ax^2+bx+1 \qquad (|x|<1) $$

となる。

次に $|x|>1$ のとき、分子・分母を $x^{2n}$ で割ると、

$$ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x+\dfrac{ax^2+bx+1}{x^{2n}}}{1+\dfrac{1}{x^{2n}}}=x \qquad (|x|>1) $$

となる。

さらに $x=\pm1$ を直接代入して調べる。

**(1)**

$x=1$ のとき

$$ f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1^{2n+1}+a\cdot1^2+b\cdot1+1}{1^{2n}+1} =\frac{a+b+2}{2} $$

一方で、

$$ \lim_{x\to1-}f(x)=a+b+1,\qquad \lim_{x\to1+}f(x)=1 $$

である。$x=1$ で連続となるためには

$$ a+b+1=1 $$

すなわち

$$ a+b=0 $$

が必要である。このとき

$$ f(1)=\frac{a+b+2}{2}=1 $$

ともなり、確かに連続になる。

**(2)**

$x=-1$ のとき

$$ f(-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{2n+1}+a\cdot(-1)^2+b(-1)+1}{(-1)^{2n}+1} =\frac{a-b}{2} $$

また、

$$ \lim_{x\to-1+}f(x)=a-b+1,\qquad \lim_{x\to-1-}f(x)=-1 $$

である。$x=-1$ で連続となるためには

$$ a-b+1=-1 $$

すなわち

$$ a-b=-2 $$

が必要である。このとき

$$ f(-1)=\frac{a-b}{2}=-1 $$

となり、ここでも連続である。

よって $a,b$ は

$$ \begin{cases} a+b=0\\ a-b=-2 \end{cases} $$

を満たすので、

$$ a=-1,\qquad b=1 $$

である。

解説

この問題の要点は、$x^{2n}$ の極限の振る舞いが $|x|<1$ と $|x|>1$ で全く異なることにある。そのため、先に極限関数 $f(x)$ を場合分けで求め、つなぎ目である $x=\pm1$ のみを調べれば十分である。

特に $|x|>1$ では最高次の $x^{2n+1}$ と $x^{2n}$ が支配的なので、分子・分母を $x^{2n}$ で割る処理が基本となる。

答え

$$ a=-1,\qquad b=1 $$