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数学3 微分法「微分の基本」の問題10 解説

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数学3微分法微分の基本問題10

解説

$y=f(x)^{g(x)}$ のように、底にも指数にも $x$ が含まれる形は、そのままでは微分しにくい。

そこで両辺の対数をとって

$$ \log y=g(x)\log f(x) $$

とし、右辺を積として微分する。

対数をとるため、$f(x)>0,\ y>0$ の範囲で考える。

まず

$$ y=f(x)^{g(x)} $$

の両辺の対数をとると、

$$ \log y=g(x)\log f(x) $$

となる。

これを $x$ で微分すると、左辺は合成関数の微分より

$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} $$

であり、右辺は積の微分より

$$ g'(x)\log f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} $$

となる。したがって、

$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} =g'(x)\log f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} $$

である。

ここで $y=f(x)^{g(x)}$ を代入すると、

$$ \frac{dy}{dx} =f(x)^{g(x)} \left( g'(x)\log f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} \right) $$

を得る。

この問題の要点は、$f(x)^{g(x)}$ のような「指数にも $x$ が入る関数」は対数微分法を使うことで処理できることである。

$\log y$ を微分すると $\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}$ になり、右辺は $g(x)\log f(x)$ の積の微分になる。特に $\log f(x)$ の微分が

$$ \frac{f'(x)}{f(x)} $$

になる点を落とさないことが重要である。

$$ \frac{dy}{dx} =f(x)^{g(x)} \left( g'(x)\log f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} \right) $$

したがって、

$$ [ア] =f(x)^{g(x)} \left( g'(x)\log f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} \right) $$