解説

方針・初手

逆関数の導関数は、もとの関数の導関数を用いて求めるのが基本である。

ただし、$y=\tan x$ はそのままでは全実数で単射ではないので、逆関数を考えるときは通常

$$ -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} $$

に定義域を制限する。このとき逆関数は $y=\arctan x$ である。

解法1

$f(x)=\tan x \ \left(-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}\right)$ とおく。

逆関数の導関数の公式より、$y=f(x)$ に対して

$$ \left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'(x)} $$

である。

ここで

$$ f'(x)=(\tan x)'=\sec^2 x $$

であるから、

$$ \left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{\sec^2 x} $$

となる。

さらに、$y=\tan x$ であるから

$$ \sec^2 x=1+\tan^2 x=1+y^2 $$

が成り立つ。したがって

$$ \left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{1+y^2} $$

である。変数名を $x$ に戻せば、

$$ \frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2} $$

となる。

解説

$\tan x$ の逆関数は、そのままでは定義できず、まず区間

$$ -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} $$

に制限する必要がある。この確認を落とすと厳密さを欠く。

そのうえで、$\sec^2 x=1+\tan^2 x$ を使って、もとの変数を逆関数側の変数に直すのが要点である。

答え

逆関数を $y=\arctan x$ とすると、

$$ \frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2} $$

である。