解説

方針・初手

分母が $(x+1)^2$ であるから，先に式を分解してから微分すると計算が軽くなる。 もちろん商の微分法をそのまま用いてもよいが，この問題では式の整理をしてから進めるのが簡潔である。

解法1

まず分子を分母に合わせる形に変形する。

$$ (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 $$

また，

$$ x^2-3x+2=(x+1)^2-5(x+1)+6 $$

であるから，

$$ y=\frac{x^2-3x+2}{(x+1)^2} =\frac{(x+1)^2-5(x+1)+6}{(x+1)^2} =1-\frac{5}{x+1}+\frac{6}{(x+1)^2} $$

と書ける。

これを微分すると，

$$ y'=0-\left(-\frac{5}{(x+1)^2}\right)-\frac{12}{(x+1)^3} =\frac{5}{(x+1)^2}-\frac{12}{(x+1)^3} $$

したがって，

$$ y'=\frac{5(x+1)-12}{(x+1)^3} =\frac{5x-7}{(x+1)^3} $$

となる。

解法2

商の微分法を直接用いる。

$$ y=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)^2} =\frac{x^2-3x+2}{(x+1)^2} $$

とおくと，

$$ \frac{d}{dx}(x^2-3x+2)=2x-3,\qquad \frac{d}{dx}(x+1)^2=2(x+1) $$

より，

$$ y'= \frac{(2x-3)(x+1)^2-(x^2-3x+2)\cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} $$

分子から $(x+1)$ をくくると，

$$ y'= \frac{(x+1){(2x-3)(x+1)-2(x^2-3x+2)}}{(x+1)^4} $$

したがって，

$$ y'= \frac{(2x-3)(x+1)-2(x^2-3x+2)}{(x+1)^3} $$

ここで分子を整理すると，

$$ (2x-3)(x+1)-2(x^2-3x+2) =2x^2-x-3-(2x^2-6x+4) =5x-7 $$

よって，

$$ y'=\frac{5x-7}{(x+1)^3} $$

である。

解説

この問題は商の微分法で解けるが，分母が $(x+1)^2$ の形なので，先に

$$ \frac{x^2-3x+2}{(x+1)^2} =1-\frac{5}{x+1}+\frac{6}{(x+1)^2} $$

と変形すると，基本的な微分公式だけで処理できる。 計算ミスを減らしやすいので，このような有理関数では式変形を先に考えるのが有効である。

答え

$$ y'=\frac{5x-7}{(x+1)^3}\qquad (x\ne -1) $$