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数学3 微分法「微分の基本」の問題13 解説

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数学3微分法微分の基本問題13

解説

$h(x)$ は $f(x)=e^x$ の $x=0$ における 3 次のテイラー多項式である。

したがって、まず $f(0),,f'(0),,f''(0),,f'''(0)$ を求め、それを与えられた式に代入すればよい。

$f(x)=e^x$ を微分すると、何回微分しても同じく $e^x$ である。よって

$$ f'(x)=e^x,\qquad f''(x)=e^x,\qquad f'''(x)=e^x $$

である。

したがって $x=0$ を代入すると

$$ f(0)=1,\qquad f'(0)=1,\qquad f''(0)=1,\qquad f'''(0)=1 $$

となる。

これを

$$ h(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{6}f'''(0)x^3 $$

に代入すれば

$$ h(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3 $$

を得る。

$e^x$ は微分しても形が変わらないので、各階導関数の $x=0$ における値がすべて $1$ になる。したがって、テイラー展開の係数をそのまま順に書けばよい典型問題である。

$$ h(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3 $$