基礎問題集
数学3 微分法「微分の基本」の問題14 解説
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解説
方針・初手
外側は対数関数、内側は平方根であるから、まず
$$ y=\log \sqrt{1+\cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{1}{2}\log \left(1+\cos^2 \frac{x}{2}\right) $$
と変形してから、合成関数の微分を用いる。
解法1
$$ y=\frac{1}{2}\log \left(1+\cos^2 \frac{x}{2}\right) $$
より、
$$ \frac{d}{dx}\log u=\frac{u'}{u} $$
を用いると、
$$ y'=\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{d}{dx}\left(1+\cos^2 \frac{x}{2}\right)}{1+\cos^2 \frac{x}{2}} $$
となる。
ここで、
$$ \frac{d}{dx}\left(\cos^2 \frac{x}{2}\right) =2\cos \frac{x}{2}\cdot \left(-\sin \frac{x}{2}\right)\cdot \frac{1}{2} =-\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2} =-\frac{1}{2}\sin x $$
であるから、
$$ y'=\frac{1}{2}\cdot \frac{-\frac{1}{2}\sin x}{1+\cos^2 \frac{x}{2}} =-\frac{\sin x}{4\left(1+\cos^2 \frac{x}{2}\right)} $$
を得る。
解説
この問題では、平方根をそのまま微分するよりも、最初に $\sqrt{\phantom{x}}$ を指数 $1/2$ と見て対数の中を整理するのが自然である。
また、$\cos^2 \dfrac{x}{2}$ の微分では、2乗の微分と $\dfrac{x}{2}$ の微分を同時に処理する必要がある。すなわち、合成関数の微分を丁寧に追うことが重要である。
答え
$$ y'=-\frac{\sin x}{4\left(1+\cos^2 \frac{x}{2}\right)} $$